高三年级数学第一学期第三次统一考试
数学试题（文史类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目、试卷类型（A或B）用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B) 其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长
如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率
其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数
是纯虚数，则
= （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．抛物线
的焦点到其准线的距离是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．用二分法研究函数
的零点时，第一次经计算
，可得其中一个零点
，第二次应计算 .以上横线上应填的内容为（ ）
A．（0，0.5），
B．（0，1），
C．（0.5，1），
D．（0，0.5），
|
是定义域为R的增函数，则函数
的图象大致是 （ ）
5．已知a、b表示直线，α、β表示平面，则a∥
的一个充分条件是 （ ）
A．a∥
，∥ B． ⊥，a⊥
C．a∥b，b∥ D．
，a∥b
6．过抛物线
的焦点，且与圆
相切的直线方程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
|
为第四象限角，则
等于 （ ）
A．
B．
C．－ D．－
| |
A．5 B．10
C．15 D．20
9．已知函数
是以2为周期的偶函数，且当
时，
，则
的值为 （ ）
A．
B．
C．2 D．11
10．设
，给出下列结论：
①
②
③
④
其中正确结论的个数是 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知等差数列
的前n项和为
，若
，且A、B、C三点共线（O为该直线外一点），则
= （ ）
A．2007 B．
C．22007 D．2－2007
12．点P 是双曲线
的右支上一点，M、N分别是圆
=1和圆
上的点，则PM－PN的最大值是 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题有4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.
13．某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过4分钟的概率是 .
14．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则A、B为
焦点，过点C的椭圆的离心率 .
15．某地教育部门为了了解学生在数学答卷中的有关信息，从上次考试的10000名考生的数学试卷中，用分层抽样的方法抽取500人，并根据这500人的数学成绩画出样本的频率分布直方图（如图）. 则这10000人中数学成绩在[140，150]段的约是 人.
16．一块正方形薄铁片的边长为4cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形（如图），用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于 cm3.
| |
三、解答题：本大题有6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知数列{
}是首项
、公比
的等比数列，是其前n项和，且
成等差数列.
（I）求公比q的值；
（II）求
的值.
18．（本小题满分12分）
已知函数
（I）求函数的最小正周期T；
（II）在给定的坐标系中，用“五点法”作出函数在一个周期上的图象.
|
19．（本小题满分12分）
甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1至5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢.
（I）若以A表示和为6的事件，求P（A）；
（II）现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
（III）这种游戏规则公平吗？试说明理由.
20．（本小题满分12分）
一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N分别是AF、BC的中点）.
（I）求证：MN∥平面CDEF；
|
21．（本小题满分12分）
如图，已知A、B、C是椭圆
上的三点，其中点A的坐标为（2
，0），BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，BC=2AC.
（I）求点C的坐标及椭圆E的方程；
|
对称，求直线PQ的斜率.
22．（本小题满分14分）
已知函数
为常数）是实数集R上的奇函数，函数
是区间[－1，1]上的减函数.
（I）求a的值；
（II）求λ的取值范围
（III）若
在
[－1，1]上恒成立，求t的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，共60分.
CBADD ACDAA BC
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分.
13．
14．
15．800 16．
三、解答题： 本大题共6小题，共74分.
17．（本小题满分12分）
解：（I）由已知
，
，
，整理得，
………………………………………………3分
解得
，
又
…………………………………………………………………6分
（II）
构成以
为首项，以
为公比的等比数列.………………8分
……………………………………………………10分
…………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（I）
……………………………………………………4分
………………………………………………………………6分
（II）列表：
| x |
|
|
|
|
| ||
|
| 0 |
|
|
|
 | ||
| sin（ | 0 | 1 | 0 | －1 | 0 |
描点画图：
 |
19．（本小题满分12分）
解：（I）基本事件空间与点集
中的元素一一对应.
因为S中点的总数为5×5=25（个），所以基本事件总数为n=25.………………3分
事件A包含的基本事件数共5个；
（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）
所以
………………………………………………………………6分
（II）B与C不是互斥事件. 因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意.………………………………………………………………………9分
（III）这种游戏规则不公平. 由（I）知和为偶数的基本事件数为13个：
（1，1）、（1，3）、（1，5）、（2，2）、（2，4）、（3，1）、（3，3）、（3，5）、（4，2）、（4，4）、（5，1）、（5，3）、（5，5）.
所以甲赢的概率为
，乙赢的概率为
，
所以这种游戏规则不公平.……………………………………………………………12分
|
解：由三视图可知，该多面体是底面为直
角三角形的直三棱住ADE—BCF，……2分
且AB=BC=BF=2，DE=CF=2
∴∠CBF=
…………………………4分
（I）取BF中点G，连MG、NG，由M、N分别为AF、BC
的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，………………6分
∴平面MNG∥平面CDEF.
∴MN∥平面CDEF.………………………………8分
（II）取DE的中点H.
∵AD=AE，∴AH⊥DE，在直三棱柱ADE—BCF中，
平面ADE⊥平面CDEF，面ADE∩面CDEF=DE.
∴AH⊥平面CDEF.………………………………………………………………………10分
∴多面体A—CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，
在△ADE中，AH=
，
∴棱锥A—CDEF的体积为
…………12分
21．（本小题满分12分）
解：（I）∵BC=2AC，且BC经过O（0，0），
∴OC=AC.
又
，
………………………………………………………………………2分
及C点坐标代入椭圆方程得
……………………………………………………5分
（II）∵PC与CQ所在直线关于直线
对称，
设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为－k，
∴直线PC的方程为
，
即
①
直线CQ的方程为
②……………………………………7分
将①代入
得
③
）在椭圆上， 
是方程③的一个根，
……………………………………………………9分
，
同理可得
，
……………………………………12分
22．（本小题满分12分）
解：（I）
是奇函数，
则
恒成立.
……………………4分
（II）
上是减函数，
在[－1，1]上恒成立，
…………………………………………………………………………8分
（III）
在[－1，1]上单调递减，
………………………………10分
令
则
……………………………………………………12分
.…………………………………………………………………………14分