高三数学上学期第一次质量检测
数 学 试 卷
一、填空题：（每题5分，计70分）
1．函数
的最小正周期为
2．已知
，求
3．
4．复数
对应的点位于复平面的第
▲ 象限.
5．已知双曲线
垂直，则a=
6．已知伪代码如下，则输出结果S= ▲ .
I←0
S←0
While I＜6
I←I+2
S←S+I2
End while
Print S
7．若命题“
x∈R,使x2+(a－1)x+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为
.
8. 如图，命题：点P,Q是线段AB的三等分点，则有
，
把此命题推广,设点A1,A2 A3，.．．．．，Ａｎ－１是ＡＢ的
ｎ等分点（ｎ
３），则有
9. 函数
内的交点为P，它们在点P处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积为
10．2008年奥运会8月8日~24日在北京举行，某人为了观看这次体育盛会，从2001年起，每年8月1日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期本息均自动转存为新的一年定期，到2008年8月1日将所有的存款及利息全部取回(不计利息税)，则可取回的钱的总数为 （元）
11．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为
，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为
，且，∈
，若
，则称“甲乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．
12．某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(
)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：
| 气温（ | 18 | 13 | 10 | -1 |
| 杯数 | 24 | 34 | 38 | 64 |
由表中数据算得线性回归方程
中的
，预测当气温为
时，热茶销售量为
＿＿＿＿杯．（回归系数
）
13．定义在
，且
，若不等式
对任意
恒成立，则实数a的取值范围
14．以下四个命题：
①
②函数
③等比数列
；
④把函数
的图像向右平移2个单位后得到的图像对应的解析式为
二、解答题：
15．已知A(3,0),B(0,3),C(
.
（1） 若
（2） 若
的夹角。
16．高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
| 分组 | 频数 | 频率 |
|
| ① | ② |
|
| 0．050 | |
|
| 0．200 | |
|
| 12 |
|
|
| 0．275 | |
|
| 4 | ③ |
| [145，155] | 0．050 | |
| 合计 | ④ |
0．300
（1） 根据上面图表，①②③④处的数值
分别为 ；
（2） 在所给的坐标系中画出[85，155]的频率分布直方图；
（3） 根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在［129，155］中的概率.
17．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.（1）求证：
（2）当FG=GD时，在AD上确定一点P，使得GP//平面FMC.
18．若椭圆
过点（-3，2），离心率为
，⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为
，过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB，切点为A、B.
(1)求椭圆的方程；
（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；
（3）求
的最大值与最小值.
19．已知二次函数
同时满足：①不等式
的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在
，使得不等式
成立。设数列
的前n项和
。
（1）求函数
的表达式；
（2）求数列的通项公式；
（3）设
，
，数列{
的前n项和为
，
若
（
恒成立，求实数m的取值范围
２０．设
、b为函数
（１）求t的取值范围；
（２）判断函数
上的单调性，并证明你的结论；
（3）设函数 y=
上的最大值比最小值大
，讨论方程f(x)=m解的状况(相同根算一根)。
理科加试题
一、必做题（每题10分）
１．盒子中装着有标数字1,2,3,4,5的上卡片各２张，从盒子中任取３张卡片，按３张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用
表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量的概率分布和数学期望；
（3）计分不小于２0分的概率．
2．如图所示在直角梯形OABC中
点M是棱SB的中点，N是OC上的点，且ON：NC=1：3，以OC,OA,OS所在直线建立空间直角坐标系
(1) 求异面直线MM与BC所成角的余弦值；
(2) 求MN与面SAB所成的角的正弦值．
二、选做题（从下面4题中选做2题）
3．圆
与椭圆
有公共点，求圆的半径r的取值范围
4．解不等式
5．已知矩阵
，求矩阵M的特征值与特征向量
6．如图2所示，
与
是⊙Ｏ的直径，
，
是延长线上一点，连
交⊙Ｏ于点
，连
交于点
，若
．
求证：
参考答案：
| 1 |
| 2 |
|
| 3 | 1 | 4 | 一 |
| 5 | 56 | 6 |
|
| 7 | 4 | 8 |
|
| 9 |
| 10 |
|
| 11 | 4/9 | 12 | 70 |
| 13 |
| 14 | ① |
15．已知A(3,0),B(0,3),C(.
（3） 若
（4） 若的夹角。
解：（1）
……………………分
……………………分
得
……………………分
……………………分
…………………………………………分
（2）
……………………分
……………………分
……………分
则
……………………分
即为所求。……………………分
16．解（1） ①1, ②0.025,
③0.1， ④1
(2)直方图如右
(3)利用组中值得
平均数为=90
0.025+1000.05+1100.2+1200.3+1300.275+1400.05=122.5 ；
在［129，155］上的概率为
=
0.315
答：总体平均数约为122.5 在［129，155］上的概率约为0.315
17．证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC
(1)连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN
又FD⊥AD FD⊥CD，
FD⊥面ABCD
FD⊥AC
AC⊥面FDN 
GN⊥AC
（2）点P在A点处
证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA
G是DF的中点，GS//FC,AS//CM
面GSA//面FMC
GA//面FMC 即GP//面FMC
18．解：（1）由题意得：
所以椭圆的方程为
（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6）时，弦PQ最大
因为直线PA的斜率一定存在，
设直线PA的方程为：y-6=k(x-8)
又因为PA与圆O相切，所以圆心（0，0）到直线PA的距离为
即
可得
所以直线PA的方程为：
（3）设
则
则
19．解（1）
的解集有且只有一个元素，
当a=4时，函数
上递减
故存在，使得不等式成立
当a=0时，函数
上递增
故不存在，使得不等式成立
综上，得a=4，
…………………………5分
（2）由（1）可知
当n=1时，
当
时，
…………………………
（3）
，
]
=
对
恒成立，
可转化为：
对恒成立
因为
是关于n的增函数，所以当n=2时，其取得最小值１８
所以m<18
20解：（1）
(x>0)
由题意知，
即
的两个不等正实根
得
（2）
单调递增
证明
令
，对称轴为
又
恒成立
上单调递增
（3）由（2）可知
单调递增
消去b可得：
令
或
理科加试题
１．盒子中装着有标数字1,2,3,4,5的上卡片各２张，从盒子中任取３张卡片，按３张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量的概率分布和数学期望；
（3）计分不小于２0分的概率．
解：（１）记＂一次取出的３张卡片上的数字互不相同的事件＂为Ａ，
则
（２）由题意有可能的取值为：２，３，４，５
所以随机变量的概率分布为：
| | ２ | ３ | ４ | ５ |
| Ｐ |
|
|
|
|
所以的数学期望为Ｅ＝
＋
＋
＋
＝
（３）＂一次取出的３张卡片所得分不低于２０分＂为事件Ｃ
答：
2．如图所示在直角梯形OABC中
点M是棱SB的中点，N是OC上的点，且ON：NC=1：3，以OC,OA,OS所在直线建立空间直角坐标系
(3) 求异面直线MM与BC所成角的余弦值；
(4) 求MN与面SAB所成的角的正弦值．
解(1)根据题意可得:
解：如图建系，则S(0,0,1) C(2,0,0) A(0,1,0) B(1,1,0)
所以N (1,0,0) M(
(1) 
(2)设平面SAB的一个法向量为
则
令
3．圆与椭圆有公共点，求圆的半径r的取值范围
解：将代入圆方程得
=
于是
4．解不等式
解：(Ⅰ)当x<-2时,得-(2x-1)-(x+2)<4得
,此时不等式无解；
(Ⅱ)当-2
x<
，得-(2x-1)+(x+2)<4得x>-1,
；
(Ⅲ)当x
时，得(2x-1)+(x+2)<4,得
综上原不等式的解集为(－1,1)
5．矩阵变换（本题满分10分）已知矩阵，求矩阵M的特征值与特征向量
解：矩阵M的特征多项式为
…………………分
令
得矩阵M特征值为：
…………………分
将
=4代入方程：
可得矩阵M属于特征值4的特征向量为
…………………分
同理属于特征值-1的特征向量为
…………………分
6．如图2所示，与是⊙Ｏ的直径，，是延长线上一点，连交⊙Ｏ于点，连交于点，若．
求证：
证明：
∽
