高三数学下册调研测试
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中仅有一个正确的，请将各题正确答案的序号涂在答题卡的相应位置）
1．
已知
，则
=
A．
B．
C．
D．
2．
已知三个力
，
，
，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，需加上一个力
，则等于．
A．
B．
C．
D．
3． 有一块等腰直角三角板ABC，∠C=90°，AB边在桌面上，当三角板所在平面与桌面成45°角时，AC边与桌面所成角的正弦等于
A．
B．
C．
D．
4．
若过定点
且斜率为
的直线与圆
在第二象限内的部分有交点则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
5．
已知等差数列
的前
项和为
，
，若
、
、
三点共线，（点
不在该直线上）则
A．1003 B．
6．
函数
的图象经过适当变换可以得到
的图象，则这种变换可以是
A．沿x轴向右平移
个单位 B．沿x轴向右平移
个单位
C．沿x轴向右平移
个单位 D．沿x轴向右平移
个单位
7．
下列函数中值域是
的函数是
A．
B．
C．
D．
8．
已知双曲线
的离心率
，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角为
，则的取值范围是
A．[
，
]
B．[
，]
C．[，
]
D．[，
]
9．
定义：若一条直线垂直于一个平面，则称这条直线的方向向量是这个平面的一个法向量．设向量
是直线
的方向向量，向量
是平面
的法向量．下列判断正确的是
A．已知
，则
∥是
//的充分不必要的条件
B．已知⊥，则是⊥的必要不充分的条件
C．已知⊥，则
⊥是
//的充要条件
D．已知
，则∥是⊥的既不充分又不必要的条件
10．若锐角△ABC中，若
，
，则此三角形最大内角正切的最小值是
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将各题的正确答案填写在答题卷的相应位置）：
11．若
和
，
，则
的值为 ☆ ．
12．等差数列中，
，则该数列的前5项的和为 ☆ ．
13．已知
、
，则不等式组
所表示的平面区域的面积是 ☆ ．
14．若函数
，则满足
的
的范围是 ☆ ．
15．底面半径为2的一个圆锥有三条母线两两垂直，则它的侧面积为 ☆ ．
16．已知
，且方程
无实数根，下列命题：
①若
，则不等式
对一切实数都成立；
②若
，则必存在实数
，使
成立；
③若
，则不等式
对一切实数都成立；
④方程
一定没有实数根．
中，正确命题的序号是 ☆ （把你认为是正确的命题的所有序号都填上）．
三、解答题（本大题共5小题，满分70分．请在答题卷的相应位置解答）：
17． （本小题12分）
已知向量
，
，设函数
且
为偶函数．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）试用五点法作函数
的图象．
18． （本小题14分）
正方体
中，M是棱
的中点．
（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；
（Ⅱ）求直线
与平面所成角的一个三角函数值；
（Ⅲ）求二面角
的一个三角函数值．
19． （本小题14分）
从原点出发的某质点
，按照向量
移动的概率为
，按照向量
移动的概率为
，设可到达点
的概率为
．
（Ⅰ）求概率
、
；
（Ⅱ）求
与、
的关系并证明数列
是等比数列；
（Ⅲ）求．
20． （本小题14分）
直线
：
与轴正方向、
轴正方向相交于A、B，M、N是直线上的点，且
，以坐标轴为对称轴的椭圆C过点M、N．
（Ⅰ）若直线是
，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C的离心率是
，且
，求直线斜率的取值范围．
21． （本小题16分）
设函数
的图象与直线
相切于
．
（Ⅰ）求在区间
上的最大值与最小值；
（Ⅱ）是否存在两个不等正数
，当
时，函数的值域也是
，若存在，求出所有这样的正数；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设存在两个不等正数，当时，函数的值域是
，求正数的取值范围．
参考答案
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | C | D | A | A | B | C | D | C | B | B |
11．
12．25 13．
14．
15．
16．①③④
17．（Ⅰ）
；
（Ⅱ）
18．解一：（Ⅰ）取连
与
相交于O，可证MO⊥，MO⊥，
得MO⊥平面，得平面⊥平面；
（Ⅱ）过
作
垂直于，交于P，连PM。
由（Ⅰ）知，⊥平面，故
即为直线与平面所成角，
它的正弦值是
。
设正方形边长为1，则
，
，
所以直线与平面所成角正弦值是
；
（Ⅲ）同（Ⅱ），过P作
垂直于
，连
，知
即为直线与平面所成角，它的正切值是
；
在△中，同（Ⅱ），设正方体棱长为1，则有
，
所以二面角的正切值是
；
解二：以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，并设正方体棱长为2，则有：
（Ⅰ）平面的一个法向量是
，
平面的一个法向量是
，
由
知，平面⊥平面；
（Ⅱ）直线的一个方向向量是
，
平面的一个法向量是，
由
，
所以直线与平面所成角正弦值是；
（Ⅲ）平面的一个法向量是
，
平面的一个法向量是，
由
，
所以二面角的余弦值是
。
19．解 (Ⅰ)点到达点
的概率为
；点到达点
的事件由两个互斥事件组成：①A=“点先按向量
到达点，再按向量到达点”，此时
；
②B=“点先按向量移动直接到达点”，此时
。
(Ⅱ) 点到达点
的事件由两个互斥事件组成：
①
“从点
按向量移动到达点”，
此时
；
②
“从点按向量
移动到达点”，此时
。
，即 
数列是以
为首项，公比为
的等比数列。
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知
……
20．解：（Ⅰ）依题意
，
，又
，
故
，
，设椭圆方程是
，则
，解得
，故所求椭圆方程是
。
（Ⅱ）依题意
，
，且
，
，又，
故
，
，设椭圆方程是，则
，解得
，故所求椭圆方程是
。
（1）若
，即
，椭圆的焦点在轴上，此时有：
，由知，
；
（2）若
，即
，椭圆的焦点在轴上，此时有：
，由知，
；
综合上可得，当时，
。
21．解：（Ⅰ）
。依题意则有：
，所以
，解得
，所以
；
，由
可得
或
。
在区间上的变化情况为：
|
| 0 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
|
| + | 0 | — | 0 | + | ||
|
| 0 | 增函数 | 4 | 减函数 | 0 | 增函数 | 4 |
所以函数在区间
上的最大值是4，最小值是0。
（Ⅱ）由函数的定义域是正数知，
，故极值点
不在区间上；
（1）若极值点在区间，此时
，在此区间上
的最大值是4，不可能等于
；故在区间上没有极值点；
（2）若在上单调增，即
或
，
则
，即
，解得
不合要求；
（3）若在上单调减，即
，则
，
两式相减并除
得：
，
①
两式相除并开方可得
，
即
，整理并除以得：
，
②
则①、②可得
，即是方程
的两根，
即存在
，
满足要求；
（Ⅲ）同（Ⅱ），极值点不可能在区间上；
（1）若极值点在区间，此时，
故有①
或②
①由
，
知，
，当且仅当
时，
；
再由
，
知，
，当且仅当
时，
由于
，故不存在满足要求的值。
②由
，及可解得
，
所以，知，
；
即当时，存在
，
，
且
，满足要求。
（2）若函数在区间单调递增，则或，
且
，故是方程
的两根，
由于此方程两根之和为3，故不可能同在一个单调增区间；
（3）若函数在区间单调递减，即，
，
两式相除并整理得
，
由
知
，即，
再将两式相减并除以得，
，
即
。
即
，是方程
的两根，
即存在
，
满足要求。
综上可得，当
时，存在两个不等正数，使时，函数的值域恰好是。