铜陵三中高三综合测试数学试卷（理）2007。4
姓名 得分
一．选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．
1．设集合
A∪(CIB）=
A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}
2．抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为
A．
B．
C．4
D．－4
3．命题p：若a、b∈R，则a+b>1是a+b>1的充分而不必要条件；
命题q：函数y=
的定义域是（－∞，－1
∪[3，+∞
.则
A．p假q真 B．“p且q”为真 C．p真q假 D． “p或q”为假
4． 如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差的变化情况为
A．平均数和方差都不变 B．平均数不变，方差改变
C．平均数改变，方差不变 D．平均数和方差都改变
5． 已知函数
的反函数为
，则
的解集为
A．
B．
C．
D．
6．已知等比数列{an}中，am·am+10=a，am+50·am+60=b，m∈N+，则am+125·am+135等于
A、
B、
C、
D、
7．已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：
①若
②若
③若
其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
8．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，5]时，f(x)=2－x－4，则
A．f(sin
)<f(cos)
B．f(sin1)>f(cos1)
C．f(cos
)<f(sin)
D．f(cos2)>f(sin2)
9．在坐标平面上，不等式组
所表示的平面区域的面积为
A．
B．
C．
D．2
10．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P∈BC1，Q∈BC，则D1P+PQ的最小值是
A．2 B．
C．
D．
11．若点
是
的外心，且
，则的内角
等于
A．
B．
C．
D．
12．某校高三8个班级的师生为庆祝第二十一个教师节，每个班学生准备了一个节目，已排成节目单．开演前又增加了3个教师节目，其中2个独唱节目，1个朗诵节目．如果将这3个节目插入原节目单中，要求教师的节目不排在第一个和最后一个，并且2个独唱节目不连续演出，那么不同的插法有
A．294种 B．308种 C． 378种 D．392种
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
13．已知
为实数，
展开式中
的系数为
，则
．
14．函数
的单调递减区间为
．
15．把曲线
按向量a=（－1，2）平移后得到曲线C2，曲线C2有一条准线方程为
，则
的值为
16．已知
是
上的奇函数，当
时，
，则
．
17．若不等式x－4+3－x<a的解集是空集，则实数a的取值范围是 ．
18． 以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，
，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作该圆的动弦AB，O为坐标原点，若
则动点
的轨迹为椭圆；
③方程
的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
与椭圆
有相同的焦点.
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大小题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19． 已知在△ABC中，sinA(sinB+cosB)－sinC=0，sinB+cos2C=0，求角A，B，C的大小。
20、口袋里装有红色和白色共36个不同的球，且红色球多于白色球．从袋子中取出2个球，若是同色的概率为
，求：
(1) 袋中红色、白色球各是多少？(2) 从袋中任取3个小球，至少有一个红色球的概率为多少？
21．如图，在四棱锥
中，底面
是一直角梯形，
，
，
，
，且
平面，
与底面成
角．
(Ⅰ) 求证：平面
平面
；(Ⅱ) 求二面角
的大小；
(Ⅲ) 若
，
为垂足，求异面直线
与
所成角的大小．
22．已知椭圆
为常数，且
，向量
，过点
且以
为方向向量的直线与椭圆交于点
，直线
交椭圆于点 (为坐标原点)．
(Ⅰ) 用
表示的面积
；
(Ⅱ) 若
，求的最大值．
23．设
=
(a>0)为奇函数，且
min=，数列{an}与{bn}满足如下关系：a1=2， 
，
．
(1)求f(x)的解析表达式；(2) 证明：当n∈N+时， 有bn
．
答案：一．选择题：每小题5分，共60分．
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答 案 | D | B | A | C | B | C | C | D | B | C | D | D |
二．填空题：每小题4分，共24分．
(13)
(14) (0,1)
(15)5 (16) --1 (17) (－∞，1］( 18 )③、④
19．解： 由sinA（sinB+cosB）－sinC=0，得sinA（sinB+cosB）－sin（A+B）=0
所以 sinAsinB+sinAcosB－sinAcosB－cosAsinB=0
即 sinB（sinA－cosA）=0
因为 B∈（0，π），所以sinB≠0，从而cosA=sinA
由 A∈（0，π），知A=
，从而B+C=
由sinB+cos2C=0得sinB+cos2（－B）=0
即 sinB－sin2B=0，亦即sinB－2sinBcosB=0
由此得 
所以
20．（1）令红色球为x个，则依题意得
,
（3分）
所以
得x=15或x=21，又红色球多于白色球，所以x=21．所以红色球为２１个，白色球为１５个．
（ 6分）
（2）设从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的事件为A，均为白色球的事件为B，
则P（B）=1－－P（A）＝
＝
（12分）
21．解：(Ⅰ) 证明：∵
，∴
．……………………………1分
∵底面，∴
．………………………………………2分
又∵
，∴
平面
．…………………………………3分
∵
平面，∴平面
平面．…………………………4分
(Ⅱ) 解：作
，垂足为
．
∵平面平面，平面
平面
，
∴
平面．
作
，垂足为
，连结
，由三垂线定理，得
，
∴
是二面角的平面角．………………………………6分
∵与底面成角，∴
．
∴
．
∴
．
在
中，
，……………………7分
在
中，
，………………8分
∴在
中，
．
因此，二面角的平面角为
．…………………9分
(Ⅲ) 设
、
分别为
、
的中点，连结
、
、
，则
．
∵
，且
，∴四边形
为平行四边形，∴
．
∴
或它的补角就是异面直线与所成角．……………11分
∵
，∴
平面
．
又∵
，∴
．
∵
，∴
．
∵
，
，12分
∴在
中，
．…………13分
因此，异面直线与所成角为
．……………………14分
22解：(Ⅰ) 直线
的方程为
．………………………………………2分
由
得
．…………………………3分
∴
或
，即点的纵坐标为
．…………4分
∵点与点关于原点对称，
∴
．…………6分
(Ⅱ) 
．
当
时，
，
，
当且仅当
时，
．……………………………………9分
当
时，可证
在
上单调递增，且
，
∴在
上单调递增．
∴
在上单调递减．
∴当
时，
．…………………………………13分
综上可得，
．…………………………14分
23．解：由f(x)是奇函数，得 b=c=0， (3分)
由f(x)min=，得a=2，故f(x)= 
(6分)
(2) =
，
=
=
(8分)
∴
=
=
=…=
，而b1=
∴=
(10分)
当n=1时， b1=，命题成立，
(12分)
当n≥2时
∵2ｎ－1＝（1＋1）ｎ－1＝1＋
≥1+
=n
∴＜，即 bn≤．
(14分)
注：不讨论n=1的情况扣2分．