上海市郊区部分区县2007年高三调研考试数学卷2007年4月
| 题 号 | 一 | 二 | 三 | 总 分 | |||||
| 1—12 | 13—16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | ||
| 得 分 | |||||||||
考生注意：
1．本试卷共有22道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．本试卷部分记号采用非试验教材的表示法，使用试验教材的考生请注意，试卷中的
相当于试验教材中的
，
相当于试验教材中的
．
|
一．填空题 (本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接
填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.
1．已知
，
（
是虚数单位），若
为实数，则实数
的值是________．
2．若直线
与直线
互相垂直，则
___________．
3．已知正三棱锥底面边长为
，侧棱与底面成
角，则三棱锥的体积为____________．
4．设
，
，则
______________．
5．（理）已知
，则
____________ ．
（文）已知
（
），若
，则
__________．
6．（理）在极坐标系中，曲线
与曲线
有__________个公共点．
（文）某工程由下列工序组成，则工程总时数为_____________天．
| 工序 |
|
|
|
|
|
|
| 紧前工序 | — | — |
|
|
|
|
| 工时数（天） |
|
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|
|
|
|
7．设
为正整数，抛物线
在
轴上截得的线段长为
，则
_______________．
8．点
是抛物线
上到直线
距离最短的点，则到抛物线焦点的距离
是_____________．
9．已知向量
，
，
，若
、
的夹角为
，则
的取值范围是_______________________．
10．在某次数学考试中，学号为（
）的学生的考试成绩为
，且
，则满足
的概率为
______________（用分数表示结果）．
11．对于实数，用
表示不超过的最大整数，如
，
．
（理）若为正整数，
，
为数列
的前项和，则
_____________．
（文）若为正整数，
，为数列的前项和，则
___________．
12．（理）设
且
，若函数
的图像与直线
恒有公共点，
则、
应满足的条件为____________________________________．
（文）设
，若函数
的图像与直线恒有公共点，则的取值
范围为_______________________________．
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．
13．△
中，“
”是“
”的…………………………………（ ）
(A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件.
(C) 充要条件. (D) 既非充分又非必要条件.
14．若直线
（
）将圆
分成两段相等的
弧，则
等于………………………………………………………………………（ ）
(A) 
.
(B) 
.
(C) 
.
(D) .
15．制作一个面积为
，形状为直角三角形的钢框架，有下列四种长度的钢管可供选用，
则最合适（既够用，又剩余最少）的长度为……………………………………………（ ）
(A) 
.
(B) 
.
(C) 
.
(D) 
.
16．（理）若函数
（
且
）在区间
上是增函数，则
在区间
上为…………………………………………………………………（ ）
(A) 增函数且有最大值. (B) 增函数且无最大值
(C) 减函数且有最小值. (D) 减函数且无最小值.
（文）已知函数
（
）在区间上是增函数，则函数
在区间上的单调性为………………………………………（ ）
(A) 先减后增. (B) 先增后减. (C) 单调递减. (D) 单调递增.
三．解答题 (本大题满分86分)本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17． (本题满分12分)设
，
（为实数且
，为虚数单位）．
求函数
的值域．
18. (本题满分12分)
（理）在直三棱柱
中，底面△是等腰直角三角形，
， 为
的中点，且
，求二面角
的大小．
（文）底面边长为的正三棱柱的体积为
，求异面直线与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
19．(本题满分14分) 本题共有2个小题，理科第1小题满分8分，第2小题满分6分；文科第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，点
、
分别是轴和
轴正半轴上的定点，动点
满足
，点
满足
．
（理）（1）用
与
来表示
；
（2）当向量与的夹角为何值时，的值最大，并求出此最大值．
（文）（1）用，，，来表示；
（2）求的最大值，并求出当取最大值时点的坐标．
 |
20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.
甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于任意
，存在两个函数，
，当甲公司投入万元用于产品的宣传时，若乙公司投入的宣传费小于万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败风险；当乙公司投入万元用于产品的宣传时，若甲公司投入的宣传费小于万元，则甲公司有失败的风险，否则无失败风险．
（1）解释
，
的实际意义；
（2）当
，
时，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用．问此时甲、乙两公司各应投入多少宣传费？
21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
设椭圆
（）的两个焦点是
和
（
），且椭圆
与圆
有公共点．
（1）求的取值范围；
（2）（理）若椭圆上的点到焦点的最短距离为
，求椭圆的方程；
（文）如果椭圆的两个焦点与短轴的两个端点恰好是正方形的四个顶点，求椭圆的方程；
（3）（理）对（2）中的椭圆，直线
（
）与交于不同的两点
、
，若线段
的垂直平分线恒过点
，求实数的取值范围．
（文）过（2）中椭圆右焦点
且不与坐标轴垂直的直线
交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围．
 |
22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
我们用
和
分别表示实数
中的最小者和最大者．
（1）设
，
，
，函数的值域为
，函数的值域为
，求
；
（2）数学课上老师提出了下面的问题：设
，
，…，为实数，
，求函数
（
）的最小值或最大值．为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数
和
的最值．
学生甲得出的结论是：
，且无最大值．
学生乙得出的结论是：
，且无最小值．
请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；
（3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）．
郊区部分区县高三调研考试数学试卷参考答案与评分标准
一、填空题（每小题4分，满分48分）
1．；2．
；3．
；4．
；5．（理）；（文）；6．（理）；（文）
；7．；
8．
；9．
；10．
；11．（理）
；（文）
；
12．（理）
时
，
时
．（文）．
二、选择题（每小题4分，满分16分）
13．C；14．D；15．B；16．（理）D．（文）D．
三、解答题
17．解：
，……（3分）
∴ 
…………（5分）
，…………（8分）
∵ ，∴ 
，
，
∴ 函数的值域为
．…………（12分）
18．（理）解法一：∵ 为的中点，且，∴ 
，
设
，则
，于是
，所以 
．……（4分）
由
，
，得
平面
，所以
，
∴ 
是二面角的平面角．…………（8分）
∵ △
是等腰直角三角形，∴ 
，…………（10分）
即二面角的大小是
．……………………（12分）
（理）解法二：以为原点，
、、
所在直线分别为轴、轴、
轴，建
立空间直角坐标系，设，
，则
，
，
，
，
，
，
，由，
得
，即
，所以
．…………（4分）
平面的一个法向量为
，设面
的一个法向量是
，则由
，
，得
，
，∴ 
，…………（8分）
设
与
的夹角为，则
．…………（10分）
∴二面角的大小是．………………（12分）
（文）设
，∵ 正三棱柱的体积为，∴ 
，
∴ 
．…………（4分）
连结
，∵ 
∥，∴ 
（或其补角）就是异面直线与所成
的角．…………（6分）
在△
中，
，
，∴ 
．………（10分）
∴ 
．
∴ 异面直线与所成角的大小为
．…………………………（12分）
（或
，或
）
19．（理）解法一：（1）由已知可得
，又
，
∴ 
……（2分）
所以，
．…………（8分）
（或
）
（2）由（1），
，…………（12分）
∴ 当
，即向量与的夹角
时，取最大值
．…（14分）
解法二：（1）由已知可得
，∴ 
，
，
∴ 
，……（2分）
由已知，
，
，
，
∴ 
．…………（8分）
（2）由（1）
…………（10分）
当且仅当
时，等号成立，此时
，而，…（12分）
所以与的夹角时，取得最大值．……（14分）
19．（文）（1）由已知可得，
∴ ，，（2分）
∴ ，……（6分）
（或
）
（2）由（1）
…………（10分）
当且仅当时，等号成立，此时
，
∴ 当点的坐标为
时，取最大值．………………（14分）
20．解：（1）的实际意义是当甲公司不进行产品宣传时，乙公司为了保证无失败
风险，至少要投入
万元用于产品宣传；的实际意义是当乙公司不进行产
品宣传时，甲公司为了保证无失败风险，至少要投入
万元用于产品宣传．…（4分）
（2）设甲公司投入宣传费用万元，乙公司投入宣传费用万元，则当且仅当
时，双方均无失败的风险．…………（8分）
∴ 
，解得
，…………（12分）
从而
，……（13分）
即甲、乙两公司应分别投入
万元和
万元进行产品宣传．…………（14分）
21．解：（1）由已知，
，
∴ 方程组
有实数解，从而
，……（3分）
故
，所以
，即的取值范围是
．…………（4分）
（2）（理）设椭圆上的点
到一个焦点
的距离为
，
则
（
）．……………………（6分）
∵ 
，∴ 当
时，
，……（7分）
于是，
，解得
．…………（9分）
∴ 所求椭圆方程为
．…………（10分）
（直接给出
的扣3分）
（2）（文）由已知可得 
，从而
，……（8分）
所以所求椭圆方程是
．…………（10分）
（3）（理）由
得
（*）
∵ 直线与椭圆交于不同两点， ∴ △
，即
．①……（12分）
设
、
，则
、
是方程（*）的两个实数解，
∴ 
，∴ 线段的中点为
，
又∵ 线段的垂直平分线恒过点
，∴ 
，
即
，即
②………………（14分）
由①，②得
，
，又由②得
，
∴ 实数的取值范围是
．…………（16分）
（3）（文）
，由题意，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为：
，由
得，
……（*）
设，，则
是方程（*）的两个实数解，于是
，
则线段的中点为
．……（12分）
∴ 线段的垂直平分线的方程为
，
在上式中令，得点的横坐标为
．…………（14分）
∴ 
，所以点的横坐标的取值范围是
．…………（16分）
22．解（1）
，
，∴ 
．……（4分）
（2）若选择学生甲的结论，则说明如下，
，于是在区间
上是减函数，在
上
是减函数，在
上是增函数，在
上是增函数．……（8分）
所以函数的最小值是
，且函数没有最大值．（10分）
若选择学生乙的结论，则说明如下，
，于是在区间
上是增函数，在上是
增函数，在
上是减函数，在
上是减函数．…………（8分）
所以函数的最大值是
，且函数没有最小值．（10 分）（3）结论：
若
，则
；
若，则
；
若
，则，
（写出每个结论得1分，共3分，证明为5分）
以第一个结论为例证明如下：
∵ ，∴ 当
时，
，是减函数，
当
时，
，是增函数
当
时，函数的图像是以点
，
，…，
为端点的一系列互相连接的折线所组成，
所以有．