江苏省如东中学2007年高三数学试题2007.3。20
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，满分50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上）
1．条件
，条件
，则
是
的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若
，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
(
＞0,
＜ 
，
∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为
A．
B．
C．
D．
4．以抛物线
上点
为切点的切线，与其准线交点的横坐标为
A．
B．
C．
D．
5．已知正三棱锥S－ABC的三条侧棱两两互相垂直，且SA=2
，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积是
A. 
B.
C. 
D.
6．设椭圆
、双曲线
、抛物线
（其中
）的离心率分别为
，则
A．
B．
C．
D．
大小不确定
| 8 | 3 | 4 |
| 1 | 5 | 9 |
| 6 | 7 | 2 |
7．将
个正整数
填入
方格中，使其每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫做
阶幻方.记
为阶幻方对角线上数的和，如右图就是一个
阶幻方，可知
.已知将等差数列：
前
项填入
方格中,可得到一个
阶幻方,则其对角线上数的和等于
A．
B．
C．
D．
8．在长方体
中，
为
上任意一点，则一定有
A．
与
异面
B．与
垂直
C．与平面
相交 D．与平面平行
9．设
，利用课本中推导等差数列前
项和公式的方法，可求得
的值为
A． B．
C．
D．
10．已知奇函数
的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为
，则不等式
的解集是
A． 
B． 
C． 
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共计100分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把正确的答案填在指定位置上）
11．若tan
=2，则2sin2
sin2=___________．
12．若
(n∈N)的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第____________项．
13．在等比数列
中，公比
，前99项的和
，则
______．
14．在平面直角坐标系中,点A在圆
上,点B在直线
上,则线段AB的最小值= .
15．设
为椭圆
的焦点,过
且垂直于轴的直线与椭圆交于A,B两点,若△
为锐角三角形,则该椭圆离心率
的取值范围是
.
16．下面的语句是一个计算机程序的操作说明：
（1）初始值为
；
（2）
（将当前
的值赋予新的）；
（3）
（将当前
的值赋予新的）；
（4）
（将当前
的值赋予新的
）；
（5）
（将当前
的值赋予新的
）；
（6）如果
，则执行语句（7），否则返回语句（2）继续进行；
（7）打印
；
（8）程序终止．
由语句（7）打印出的数值为_____________，_____________ ．
三．解答题（本大题共5个小题，共70分）．
17．（本题满分12分）
某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：
(Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率；
(Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.
18．（本题满分14分）已知函数
．
（Ⅰ）若在
上是增函数，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）若
是的极值点，求在
上的最小值和最大值．
19． （本题满分14分）
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，
底面ABCD，且PA=AD=DC=
AB=1，M是PB的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。
20．（本题满分13分）函数
的最小值为
且
数列
的前项和为
．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）若数列
是等差数列，且
，求非零常数
；
（Ⅲ）若
，求数列
的最大项．
21．（本题满分14分）
(1) 已知抛物线
过焦点
的动直线l交抛物线于
两点, 
为坐标原点, 求证: 
为定值;
(2) 由 (1) 可知: 过抛物线的焦点的动直线 l 交抛物线于两点, 存在定点
, 使得
为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.
如东中学2007年高三数学模拟考试（3）参考答案
1．A 2．C 3．B 4．C 5．C 6．B 7．A 8．B 9．D 10．B
11．
12．5 13．
14． 15． 
16． 
17．解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B,C，
则P(A)=0.5，P(B)＝0.6，P(C)=0.9. - - -- - - - - - - - - - -2分
(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率
p1=P(A·B·
)+P(
·B·C)+P(A·
·C)+P(A·B·C)
=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9
=0.03+0.27+0.18+0.27
=0.75. - - -- - - - - - - - - - -7分
(Ⅱ) 应聘者用方案二考试通过的概率
p2=
P(A·B)+P(B·C)+ P(A·C)
=×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)
=×1.29
=0.43 - - -- - - - - - - - - - -12分
18．解：(Ⅰ) 
，要在
[1，＋∞
上是增函数，则有
在[1，＋∞内恒成立，
即
在[1，＋∞内恒成立, 又
（当且仅当x=1时，取等号），所以
（Ⅱ）由题意知
的一个根为，可得
，
所以
的根为
或 
(舍去)，
又
，
，
，
∴ f（x）在
，
上的最小值是
，最大值是
．
19．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分14分.
|
（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD.
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD.
又CD
面PCD，∴面PAD⊥面PCD.
（Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，
则∠PBE是AC与PB所成的角.
连结AE，可知AC=CB=BE=AE=
，又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形. 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE=，PB=
， 
（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角.
∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中，AN·MC=
，
. ∴AB=2，
故所求的二面角为
方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，
.
（Ⅰ）证明：因
由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.
|
（Ⅱ）解：因
（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在
使
要使
为所求二面角的平面角.
20．解：（Ⅰ）由
，
，
由题意知：
的两根，
（Ⅱ）
，
为等差数列，
，
，
经检验
时，是等差数列，
（Ⅲ）
21． 23．（本小题满分14分）
解: (1) 若直线l垂直于x轴, 则
, 
.
……………2分
若直线l不垂直于轴, 设其方程为
, 
.
由
……………4分
.
综上, 
为定值. ……………6分
(2) 关于椭圆有类似的结论: 过椭圆
的一个焦点的动直线l交椭圆于
、
两点, 存在定点, 使为定值. ……………7分
证明: 不妨设直线l过椭圆
的右焦点
其中
若直线l不垂直于轴, 则设其方程为: 
, .
由
得:
所以
……………9分
由对称性可知, 设点在x轴上, 其坐标为
所以
要使为定值,
只要
即
此时
……………12分
若直线l垂直于x轴, 则其方程为
, 
, 
.
取点
有
……………13分
综上, 过焦点
的任意直线l交椭圆于、两点, 存在定点
使
为定值. ……………14分