2006－2007学年度上学期
高中学生学科素质训练
高三数学第一轮复习单元测试（1）— 《集合与函数》
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合
,则满足
的集合B的个数是 （ ）
A．1 B．3 C．4 D．8
2．已知集合M＝｛x
｝，N＝｛yy＝3x2＋1，xÎR｝，则MÇN＝ （ ）
A．Æ B．{xx³1} C．｛xx>1｝ D．{x x³1或x<0}
3．有限集合
中元素个数记作card
，设
、
都为有限集合，给出下列命题：
①
的充要条件是card
= card
+ card
；
②
的必要条件是card
card；
③
的充分条件是cardcard；
④
的充要条件是card
card.
其中真命题的序号是
A．③、④ B．①、② C．①、④ D．②、③
4．已知集合M＝｛xx＜3｝，N＝｛xlog2x＞1｝，则M∩N＝ （ ）
A．
B．｛x0＜x＜3｝ C．｛x1＜x＜3｝ D．｛x2＜x＜3｝
5．函数
的反函数是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．函数
的定义域是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．函数
的反函数
的图象与y轴交于点
（如图2所示），则方程
的根是
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．已知函数
若
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
与
的大小不能确定
10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文
密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文
对应密文
例如，明文
对应密文
当接收方收到密文
时，则解密得到的明文为 （ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所
围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x）的图象是（ ）
|
12．关于
的方程
，给出下列四个命题：
①存在实数
，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．函数
对于任意实数满足条件
，若
则
_______.
14．设f（x）＝log3（x＋6）的反函数为f－1（x），若〔f－1（m）＋6〕〔f－1（n）＋6〕＝27，则f（m＋n）＝___________________．
15．设
则
__________．
16．设
，则
的定义域为_____________ ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数
满足
且对于任意
, 恒有
成立.
（1）求实数
的值;
（2）解不等式
.
18（本小题满分12分）
20个下岗职工开了50亩荒地，这些地可以种蔬菜、棉花、水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下：
| 每亩需劳力 | 每亩预计产值 | |
| 蔬 菜 |
| 1100元 |
| 棉 花 |
| 750元 |
| 水 稻 |
| 600元 |
问怎样安排，才能使每亩地都种上作物，所有职工都有工作，而且农作物的预计总产值达到最高？
19．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若
且函数
的值域为
,求
的表达式;
（2）在（1）的条件下, 当
时, 
是单调函数, 求实数k的取值范围;
（3）设
, 
且
为偶函数, 判断
＋
能否大于零?
20．（满分12分）
已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）－x2+y_=f（x）－x2+x.
（1）若f（2）－3,求f（1）;又若f（0）=a,求f（a）;
（2）设有且仅有一个实数x0,使得f（x0）= x0,求函数f（x）的解析表达式.
21．（本小题满分12分）
设函数
.
（1）在区间
上画出函数
的图像；
（2）设集合
. 试判断集合
和
之间的关系，并给出证明；
（3）当
时，求证：在区间
上，
的图像位于函数图像的
上方.
22．（本小题满分14分）
设a为实数，记函数
的最大值为g（a）.
（1）设t＝
，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；
（2）求g（a）；
（2）试求满足
的所有实数a．
参考答案（1）
1．C．
，
，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集
个数问题，所以满足题目条件的集合B共有
个.故选择答案C．
2．C．M＝｛xx>1或x£0｝，N＝｛yy³1｝故选C
3．B．选由card= card+ card+ card
知card= card+
card
card=0.由的定义知cardcard.
4．D． 
,用数轴表示可得答案D．
5．A．∵ 
∴
即
∵
∴
即
∴函数
的反函数为
.
6．B．由
，故选B．
7．B．在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇
函数,是减函数;故选A．
8．C．利用互为反函数的图象关于直线y=x对称，得点（2，0）在原函数的图象上，即
，
所以根为x=2.故选C
9． B．取特值
，选B；或二次函数其函数值的大小关系，分类研究对
成轴和区间的关系的方法， 易知函数的对成轴为
,开口向上的抛物线, 由
, x1+x2=0，需
分类研究和对成轴的关系,用单调性和离对成轴的远近作判断,故选B;
10．B．理解明文
密文（加密），密文明文（解密）为一种变换或为一种对应关系，构建方程组求解，依提意用明文表示密文的变换公式为
，于是密文14，9，23，28满足，即有 
，选B；
11．D．当x=
时,阴影部分面积为
个圆减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,故此时
,即点（
）在直线y=x的下方,故应在C、D中选;而当x=
时, ,阴影部分面积为
个圆加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,即
,即点（
）在直线y=x的上方,故选D．
12．B．本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令
①，则方程化为
②，作出函数
的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0<t<1时方程①有4个根；（3）当t=1时，方程①有3个根.
故当t=0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即
此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个；当
时，方程②有两个相等正根t＝
，相应的原方程的解有4个；故选B．
13．由
得
，所以
，则
.
14．f－1（x）＝3x－6故〔f－1（m）＋6〕·〔f－1（x）＋6〕＝3m·3n＝3m ＋n＝27
\m＋n＝3\f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2．
15．
．
16．由
得，的定义域为
。故
，解得
.
故
的定义域为
.
17． （1） 由
知, 
…① ∴
…②又恒成立, 有
恒成立,故
．
将①式代入上式得:
, 即
故
．
即
, 代入② 得,
．
（2）
即
∴
解得: 
, ∴不等式的解集为
．
18．设种蔬菜、棉花、水稻分别为x亩，y亩，z亩，总产值为u，
依题意得x+y+z=50，
，则u=1100x+750y+600z=43500+50x.
∴ x
0,y=90－3x0,z=wx－400,得20
x30,∴当x=30时，u取得大值43500，此时y=0,z=20.
∴安排15个职工种30亩蔬菜，5个职工种20亩水稻，可使产值高达45000元．
19 （1） ∵
, ∴
又
恒成立,
∴
, ∴
, 
∴
.
∴
（2） 则
,
当
或
时, 即
或
时,
是单调函数.
（3） ∵是偶函数∴
,
∵
设
则
.又
∴
＋
,∴
＋
能大于零.
20．（1）因为对任意xεR，有f（f（x）－ x2 + x）=f（x）－ x2 +x，所以f（f（2）－ 22+2）=f（2）－ 22+2.
又由f（2）=3，得f（3－22+2）－3－22+2，即f（1）=1.
若f（0）=a，则f（a－02+0）=a－02+0，即f（a）=A．
（2）因为对任意xεR，有f（f（x））－ x2 +x）=f（x）－ x2 +x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f（x0）－ x0. 所以对任意xεR，有f（x）－ x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f（x0）－x
+ x0= x0, 又因为f（x0）－ x0，所以x0－ x=0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f（x）－ x2 +x=0，即f（x）= x2 –x. 但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，
故x2≠0. 若x2=1,则有f（x）－ x2 +x=1，即f（x）= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为f（x）= x2 –x+1（x
R）.
21．（1）
（2）方程
的解分别是
和
，
由于在
和
上单调递减，
在
和
上单调递增，因此
.
由于
.
（3）[解法一] 当
时，
. 
，
. 又
，
① 当
，即
时，取
，
.
，
则
.
② 当
，即
时，取
， ＝
.
由 ①、②可知，当时，
，.
因此，在区间上，
的图像位于函数图像的上方.
[解法二] 当时，.
由
得
，
令 
，解得 
或
，
在区间上，当时，
的图像与函数的图像只交于一点
；
当时，
的图像与函数的图像没有交点.
如图可知，由于直线过点
，当时，直线是由直线
绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像
位于函数图像的上方.
22．（1）∵
，∴要使
有意义，必须
且
，即
∵
，且
……① ∴的取值范围是
。
由①得：
，∴
，
。
（2）由题意知
即为函数
，的最大值，
∵直线
是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
1）当时，函数
，的图象是开口向上的抛物线的一段，
由
知在上单调递增，故
；
2）当
时，
，，有=2；
3）当
时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若
即
时，
，
若
即
时，
，
若
即
时，．
综上所述，有=
．
（3）当
时，
；
当
时，
，
，∴
，
，故当
时，
；
当时，
，由
知：
，故
；
当时，
，故
或
，从而有
或
，
要使，必须有
，
，即
，
此时，。
综上所述，满足的所有实数a为：
或．