江西省宜春市2007届高三第三次模拟考试数学（理科）试题 4月22日
命题人：吴连进（高安教育集团）熊星飞（宜丰中学）李希亮 审校人：李希亮 胡鸿（宜春中学）
I 卷
（注意：请将第Ⅰ卷答案填在第Ⅱ卷上）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合
，
，则
与
的关系为（ ）
A． 
B．
C．
D．
2．命题
：不等式
的解集为
，命题
：在△
中，“
”是“
”成立的必要非充分条件，则( )
A. 真假 B．且为真 C．或假 D．假真
3．等式“
”成立是“
、
、
成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若函数
对任意
都有
，则
( )
A．8 B．4 C． －4 D．－4或4
5．设
是正实数，以下不等式：
；
；
；
，其中恒成立的有：
A．
B．
C．
D．
6．等差数列
中，若
，新数列
的前
项和为
，则的值为( )
A．14 B． 15 C．16 D．18
7．已知△的顶点
在椭圆
上，顶点
是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边
上，则△的周长为（ ）。
A．
B．
C．
D．
8．
为奇函数，
则
（ ）
A．0 B．1
C．
D．5
9．当太阳斜照或直照时，放在水平地面上的长方体箱子，在地面上影子的形状是（ ）
A．四边形或五边形 B．四边形或六边形
C．五边形或六边形 D．四边形或五边形或六边形
10．在1，2，3，4，5的排列
，
，
，
，
，中，满足 
， 
，
， 
的排列个数是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
11．下列函数图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与
的图象重合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．在正三棱锥
中，
、
分别为棱
、的中点，且
，
，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．己知复数
满足
，则
。
14．已知
为实数，
，
，那么
与
的关系为 。
15．己知
满足
，其中实数
，则目标函数
的最大值的变化范围是
。
16．、
是双曲线
右支上的两点，若弦
的中点到
轴的距离是4，则 的最大值是 。
宜春市2007届高三年级第三次模拟考试数学（理科）试题
Ⅱ卷
（注意：请将第Ⅰ卷答案填在此卷上）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 14.
15. 16.
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答写出必要的文字说明，注明过程及演算步骤）
17．（本小题满分12分） 如右图所示，已知函数
的一部分图象.
（1）求
的值，讨论函数在
上的单调性；
（2）
，且
，求证：
。
18．（本小题满分12分）根据某地区的高考录取情况统计：高考录取中，上线考生第一次被录取的概率为
；若第一次未被录取，则通过补报志愿，第二次被录取的概率为
。
求：（1）在高考录取中某上线学生被录取的概率为多少？
（2）若某小组有5位同学上线，则这5位同学中第一次就有4人被录取的概率为多少？
（假设学生之间的录取是相互独立的）
（3）在条件（2）中，5位上线同学被录取人数的期望是多少？
19．（本小题满分12分）已知斜三棱柱
的底面是直角三角形，
，侧棱与底面所成的角为
，点
在底面上的射影
落在
上．
（1）求证：
；
（2）当为何值时，
且恰为中点？
（3）若
，且
时,求二面
角
的大小．
20．(本题满分12分）设函数
(1)求
的单调区间；
(2)若当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若关于的方程
在区间
上恰好有两个相异的实根，求实数 的取值范围.
21．(本小题满分12分)已知是抛物线
的任一弦，
为抛物线的焦点，
为准线.为过点且以
为方向向量的直线.
(1)若过点的抛物线的切线与轴相交于
点，求证：
；
(2 )若
(、异于原点)，直线
与相交于点，试求点的轨迹方程；
(3)若为焦点弦，分别过、点的抛物线的两条切线相交于点
, 求证：
，且点在l上.
22．（本小题满分14分）已知等差数列
的首项为，公差为
；等比数列
的首项为，公比为，其中
，且
．
（1）求的值；
（2）若对于任意
，总存在
，使
，求的值；
（3）在（2）中，记
是中所有满足的项从小到大依次组成的数列，又记
为的前n项和，
为的前n项和，求证：
≥
．
宜春市2007届高三年级第三次模拟考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 
14．
15．
16．8
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答写出必要的文字说明，注明过程及演算步骤）
17．(1)由题意得
. 当
时，的最大值
与最小值
互为相反数，设的最小正周期为，由图知
，
得
.又
, 
，于是
，得
.
这时，
，它经过两点
, 
得
有
，解之，得
所以，……………………………………………4分
得 = 
sin
x－cosx=2sin(x－
)，所以在
上单调递减；在
上单调递增.……………………………………………………6分
(2) 当
时，讨论
的取值：
①若
，由，在上单调递减，得
；
②若
时，则
……10分
当
时，，
综上所述，……………………………………………………12分
18．解：（1）记事件：上线考生第一次被录取
记事件：上线考生第一次未被录取，补报志愿第二次被录取
依题意，得：
…………3分
显然事件与事件是互斥事件
所以 
……………6分
（2）依题意，知：5位上线同学第一次有3人被录取的概率
………………………………9分
（3）因为每位上线同学中，最后被录取的概率为
，且同学之间被录取与否是相互独立的，所以5位上线学生中被录取的人数
……10分
所以
…………………………………………12分
19．解：（1）∵ 
， 
∴
∴ ………………………… 3分
(2) ∵，要使，由三垂线定理可知，
只须
………………………… 5 分
∴ 平行四边形
为菱形， 此时，
．
又∵ 
, 要使为中点，只须
，即△
为正三角形，
∴ 
………………………… 7分
∵ ，且落在上，
∴
即为侧棱与底面所成的角．
故当
时，，且使为中点 ……………………… 8分
（3）过
作
于
，则
。
过作
于，由三垂线定理，得
∴
是所求二面角的平面角． …………………… 10分
设
，
在
中，由
，
．
在
中，
，
a．
∴
，故所求的二面角为
．……………… 12分
20．解：(I)函数定义域为
，
因为
……………………………2分
由
，得
或
；由
，得
或
.
所以递增区间是
，递减区间是
………………4分
(2)由(1)知，在
上递减，在
上递增. 又
，
，且
，所以
时，
……………………………………………………………………6分
故
时，不等式恒成立.…………………………………………8分
(III)方程，即：
. 记
所以
. 由
，得
或
；由
，得：
. 所以
在
上递减，在
上递增，为使在 上恰好有两个相异的实根，必须且只需
在和
上各有一个实根，于是
有
，解之，得
.……………………12分
21．(1)如图所示，设
，易知点即为切点. ∵
，∴
，于是
的方程为：
，即：
, 
令
，得
即
由抛物线的定义可知，
.
又
∴.………………………………………………………………4分
(2)设
，∵
·
，
∴
，
∴
，
. 直线的方程：
…… ①
…………………………………………………………………………………6分
直线的方程：
………②，①×②，得
，∴
∵
, ∴
,
∴点的轨迹方程为.……………………………………………8分
(3)设
，易知、
为切点，则
由于是焦点弦，可设的方程为：
，代入
，
得：
，
∴
, ∴
，∴.………………………10分
由(1)知，
的方程：,
∴
，即：
. 又∵过焦点，
∴
，∴
，∴点在准线上.…………………………12分
22．解：（1）∵ 
，，
，
∴ 
∴ 
∴ 
∴ 
．…………………………………………………………3分
∴ a＝2或a＝3
当a＝3时，
；不符合
，舍去 ∴a＝2．……………4分
（2）
，
，由可得
． ∴ 
．
∴ b＝5………………………………………………………………8分
（3）由（2）知
，
， ∴ 
．
∴ 
． ∴ 
，
．
∵ 
，
．…………………………………10分
当n≥3时，
．
∴ 
． 综上得 
．………………14分