江苏省淮安市2006
2007学年度高三第二次调查测试模拟试数学试题
命题人：黄涛 2006.1.20
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
第Ｉ卷（选择题，满分50分）
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）
1、已知集合
集合
则
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
2、若
的展开式中含有常数项，则这样的正整数
的最小值是
A. 3 B.4 C. 10 D. 12
3、设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b,a⊥
，则b∥ ②若a∥,⊥β，则a⊥β
③a⊥β，⊥β，则a∥
④若a⊥b，a⊥,b⊥β，则⊥β
其中正确的命题的个数是 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4、如图,函数
的图象是中心在原点,焦点在
轴上的椭圆的两段弧,则不等式
的解集为
（ ）
A、
B、
C、
D、
5、数列
满足
若
则
的值为
（ ）
A.
B. 
C.
D.
6、由函数
与函数
的图象及
与
所围成的封闭图形的面积是
（ ）
A．
B．
C．
D．以上都不对
7、设命题
: 在直角坐标平面内,点
与
在直线
的异侧;命题
:若向量
满足
,则
的夹角为锐角.以下结论正确的是
（ ）
A.
为真, 
为真 B.为真, 为假
C.为假, 为真 D.为假 为假
8、将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体高的最小值为 ( )
A、
B、
C、
D、
9、已知点A(1，0)，B(1，)，将线段OA、AB各n等分，设OA上从左至右的第k个分点为Ak，AB上从下至上的第k个分点为Bk(1≤k≤n)，过点Ak且垂直于x轴的直线为lk，OBk交lk于Pk，则点Pk在同一 （ ）
A．圆上 B．椭圆上 C．双曲线上 D．抛物线上
10、已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，满足
，
，
，I为PC上一点，且
，则
的值为（ ）
A
1
B 2
C.
D 
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填写在答题卡相应位置上.）
11、已知
，则
________▲________.
12、已知直线ax+by+c=0被圆M：
所截得的弦AB的长为
，那么
的值等于 ▲ 
13、过双曲线M:
的左顶点A作斜率为1的直线
,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且AB=BC,则双曲线M的离心率是 ▲
14、4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选
一题作答，选甲题答对得18分，答错得－18分；选乙题答对得6分，答错得－6分.若4
位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 ▲
15、对于函数
给出下列命题：
（1）
有最小值； （2）当
时，的值域为
；
（3）当
时，在
上有反函数；
（4）若在区间上是增函数，则实数
的取值范围是
.
上述命题中正确的是_____▲________.(填上所有正确命题的序号)
16、定义:设有限集合
,
,则
叫做集合
的模,记作
.若集合
,集合
的含有三个元素的全体子集分别为
,则
= ▲ (用数字作答).
三、解答题（本大题共5小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17、(本题12分)已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
求：
(1)若
，求角α的值；
| |
(2)若
，求
的值.
18、（本题12分）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，点M、N分别在棱PD、PC上，且
（1）求证：PC⊥AM：
（2）求证：PC⊥平面AMN；
（3）求二面角B－AN－M的大小．
19、（本题14分）某厂生产某种产品的年固定成本为
万元，每生产千件，需另投入成本为
，当年产量不足
千件时，
（万元）；当年产量不小于千件时，
（万元）.通过市场分析，若每件售价为
元时，该厂年内生产该商品能全部销售完.
（1）写出年利润
（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
20、（本题16分）在直角坐标系中，O为坐标原点，F是x轴正半轴上的一点，若△OFQ的面积为S，且
.
（Ⅰ）若
夹角θ的取值范围；
（Ⅱ）设
若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，求
的最小值以及此时的椭圆方程；
| |
的弦AB的两个端点在椭圆E上滑动，M为线段AB的中点，求M点到椭圆右准线距离的最大值及对应的AB直线的方程.
21、（本题16分）设函数的定义域、值域均为，的反函数为
，且对于任意实数，均有
，定义数列
：
.
(1)求证：
；
(2)设
求证：
；
(3)是否存在常数
，同时满足：①当
时，有
；② 当
.时，有
成立.如果存在满足上述条件的实数
，求出的值；如果不存在，证明你的结论。
淮安市20062007学年度高三年级第二次调查测试模拟试
数学卷答题纸
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| |||||||||||||||||||||||||
| 一、选择题：
| |||||||||||||||||||||||||
| | |||||||||||||||||||||||||
| 第Ⅱ卷 非选择题 (共100分) | |||||||||||||||||||||||||
| 二、填空题: 11题 12题 | |||||||||||||||||||||||||
|
13题 14题 | |||||||||||||||||||||||||
| 15题 16题 | |||||||||||||||||||||||||
| 三、解答题 17、（本小题满分12分）
18、（本小题满分12分）
19、（本小题满分14分）
20、（本小题满分16分）
21、（本小题满分16分）
|
第Ⅰ卷 选择题 (共50分)
淮安市20062007学年度高三年级第二次调查测试模拟试卷
参考答案
| 第Ⅰ卷 选择题 (共50分) | |||||||||||||||||||||||||
| 一、选择题：
|
二、填空题
11、 
12、 -2
13、 
14、 44 15、 （2）（3） 16、 3600
三、解答题
17、解：解：(1)∵
=(cos
－3, sin), 
=(cos,
sin－3).
∴∣∣=
。
∣∣=
。------------------------3分
由∣∣=∣∣得sin=cos.又∵
，∴=
-----------6分
(2)由· =－1,得(cos－3)cos+sin (sin－3)=－1
∴ sin+cos=
.① 又
.
由①式两边平方得1+2sincos=
, ----------------------------------10分
∴2sincos=
, ∴
---------------------12分
18、解：
（1）因为四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，故建立如图所示的空间直角坐标A－xyz，又PA＝AD＝2，则有P（0,2，2），D（0,2，0）．∴M（0,1，1），C（2,2，0）．
∴
＝（2,2，－2），
＝（0,1,1）．
∵·＝0＋2－2＝0，∴PC⊥AM．
（2）设N（x，y，z），
∵
＝
，则有x－0＝
，
∴
同理可得
由·
＝
∴PC⊥AN．又∵PC⊥AM,AM
∴PC⊥平面AMN．
（3）设平BAN的法向量为n（x，y，z）．由
，取n（0，2,1）．
而＝（2,2，－2）为平面AMN的法向量，
∴cos<n，>
＝
＝－
结合图形可知，所求二面角B－AN－M的大小为π－arccos
19、解：（1）当
时，
……………………3分
当
，
时，
……6分
…………………7分
（2）当时，
当
时，
取得最大值
…………………10分
当
当
，即
时，取得最大值
…13分
综上所述，当时取得最大值
，即年产量为
千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大. …………………14分
20、解：（I）由已知得
（II）设椭圆的方程是
，Q点的坐标设为（x1，y1），
则
∵△OFQ的面积是
显然当且权当c=2时
有最小值，其最小值是3，
此时Q点的坐标是 
，代入椭圆方程是
，
解得a2=10,b2=6，∴所求椭圆方程是
.
（III）由（II）椭圆方程，椭圆的左焦点为F1（－2，0），
欲求M点到右准线距离的最大值，可求该点到左准线距离的最小值，设A、B、
M点在左准线的射影分别为A′、B′、M′，由椭圆第二定义及梯形中位线性质得：
由
即M点到左准线距离的最小值为2，此时A、F1、B三点共线，
设过F1的直线方程为x=hy－2，将其与椭圆方程联立，
消去x得（3h2+5）y2－12hy－18=0，
∴y1+y2=
，此时中点M的纵坐标为y0=
,
故得M点的横坐标为x0=－2， 
∴所求的直线方程为x=
y－2，即3x－y+2=0或3x+y+2=0.
21、.解：（1）由
，得
，
又
，令
得
，即；---------------------------------4分
（2）
，
，即
，---------6分
又
，
所以
，
所以
-----------8分
（3）假设存在常数，使得当时，有，则
，解得
。
---------------------------10分
由，即
，
两边同时除以
，得
，分别令
得
，
，
，--------13分
将这
个不等式想加得
。
即存在①当时，有；
② 当.时，有成立.----------------------------16分