浙江省杭州市
2007年高三第二次高考科目教学质量检测
数学试题（理科）
考生须知：
1．本卷满分150分钟，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效。
4．考试结束，只需上交答题卷。
参考公式
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)；
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
.
球的表面积公式 
，其中R表示球的半径.
球的体积公式 
，其中R表示球的半径.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合
，则下面属于M的元素是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．二项式
展开式中的常数项是 （ ）
A．7 B．－7 C．28 D．－28
4．设点P在双曲线
上，若F1、F2为此双曲线的两个焦点，且PF1:PF2 = 1:3，则△F1PF2的周长等于 （ ）
A．22 B．16 C．14 D．12
5．若a，b是非零向量且满足：
，则a与b的夹角是 （ ）
|
B．
C．
D．0
6．如图，A，B，C表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的
概率分别是0.9,0.8,0.7.如果系统中至少有1个开关能正常工作，
那么该系统就能正常工作，该系统正常工作的概率是 （ ）
|
C．0.994 D．0.06
7．设l，m，n是空间三条直线，α,β是空间两个平面，则下列选项中正确的是 （ ）
A．当n⊥l时，“n⊥β”是“l∥β”成立的充要条件
B．当
且n是在l在
内的射影时，“m⊥n”是“l⊥m”的必要不充分条件
C．当时，“m⊥β”是“α⊥β”充分不必要条件
D．当，且
时，“m∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件
|
，则关于x方程
解的个数为 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有 （ ）
A．36条 B．30条 C．21条 D．18条
10．在O点测量到远处有一物体在作等速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ = 90°，再过一分钟后，该物体位于R点，且∠QOR = 30°，则tan2∠OPQ的值等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.请将答案填写在答题卷中的横线上.
11．在直角坐标系xOy中，设
，则线段BC中点M(x，y)的轨迹方程是
.
12．若ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 |
| P | p | q |
其中
，则
= ，
=
.
13．在数列{an}中，a1 =－60，且an+1 = an + 3，则这个数列的前30项的绝对值之和为 .
14．设
，定义在集合A上的函数
的最大值比最小值大1，则底数a的值是
.
15．设n为正整数，坐标平面上有一等腰三角形，它的三个顶点分别是（0，2）、
、
，设此三角形的外接圆直径长等于Dn，则
.
|
，则点P所在区域的面积为
.
17．三棱锥S—ABC中，∠SBA =∠SCA = 90°，△ABC是
斜边AB = a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异
在直线SB与AC所成的角为90°；②直线⊥平面ABC；
③面SBC⊥面SAC；④点C到平面ASB的距离是
|
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18．（本小题满分14分）
（1）请写出一个各项均为实数且公式
的等比数列，使得其同时满足a1 + a6
= 11且
；
（2）在符合（1）条件的数列中，试找出所有的正整数m，使得am，
这三个数依次成等差数列.
19．（本小题满分14分）
设函数
（1）求f(x)最小正周期T；
（2）求f(x)单调递增区间；
（3）设点
在函数f(x)的图象上，且满足条件：
的值.
20．（本小题满分14分）
|
（1）求证：平面EBD⊥平面ABCD；
（2）求直线PB与直线DE所成的角的余弦值；
（3）设二面角A－BE－D的平面角为θ，求cosθ的值.
|
21．（本小题满分14分）
已知直线l：y + kx + k + 1，抛物线C：y2 = 4x，和定点M(1,1).
（1）当直线经过抛物线焦点F时，求点M关于直线l的对称点N的坐标，并判断点N是否在抛物线C上；
（2）当k变化(k≠0)且直线l与抛物线C有公共点时，设点P(a，1)关于直线l的对称点为Q(x0,y0)，求x0关于k的函数关系式x0= f (k)，并求P与M重合时，x0的取值范围.
22．（本小题满分16分）
已知函数
，过点P作曲线y = f(x)的两条切线PM、PN，切点分别为M、N.
（1）设MN = g(t)，试求函数g(t)的表达式；
（2）是否存在t，使得M、N与A(0,1)三点共线.若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）条件下，若对任意的正整数n，在区间
内总存在m + 1个实数
，使得不等式
成立，求m的最大值.
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求的.
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | C | A | A | A | B | C | C | B | C | B |
二、填空题：本大题共4小题，每小题7分，共28分.请将答案填写在答题卷上中的横线上.
11．2x + 2y + 1 = 0 12．q, pq 13．765
14．
15．2
16．24 17．①②③④
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18．（本小题满分14分）
（1）由条件可知a1，a6应该是方程
的两个根，
解得
，继而得到
， ……………………………4分
所以符合条件的等比数列可以是
（公比q > 1舍去），
………………3分
或
，符合条件 ……………………………… 3分
（2）对于
，
由
…………………………………………………………………… 2分
解得m = 7或m = 6. ………………………………………………………………… 2分
19．（本小题满分14分）
……… 4分
（1）
…………………………………………………………………… 3分
（2）由
，
单调递增区间是
……………………………………3分
（3）
，
∴当n为奇数时Pn位于图象最高处，当n为偶数时Pn位于图象最低处，
∴当n为奇数时，Nn = 2，
当n为偶数时，Nn = 0. ………………………………………………………………4分
20．（本小题满分14分）
∵PC⊥平面ABCD，所以以C为原点，CA所在直线为y轴，
CP所在直线为 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC=120°，
|
∴C（0，0，0），A（0，
a，0），
B（－
a，a，0）， D（a，a，0），
P（0，0，a），∵E是PA的中点，
∴E（0，a，a）.………………………3分
（1）设
AC和BD交于点Q，则Q（0，a，0），
，PC⊥平面ABCD，平面EBD⊥平面ABCD；……3分
（2）
，
；…………………………………4分
（3）设平面的ABE的法向量为p（x，y，z），可得p=（－，1，），
又AC⊥BC，得AC⊥BDE，又
=（0，a，0），
∴取平面BDE的法向量q=（0，，0），
∴p·q=，p=
，q= ∴
…………………………………4分
21．（本小题满分14分）
（1）由焦点F（1，0）在l上，得
……………………1分
设点
， ………………………………………2分
解得
…………………………………………………………2分
点不在抛物线C上. ………………………………………… 2分
（2）把直线方程代入抛物线方程得：
，
∵相交，∴
，
解得
…………………………………………2分
由对称得
解得
………………2分
当P与M重合时，a = 1，
，
∵函数
是偶函数，且k > 0时单调递减.
，
………………………………………………………………3分
22．（本小题满分14分）
（1）设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，
， ………………………………………………………………… 2分
∴切线PM的方程为：
，
又∵切线PM过点
，
即
， （1）
同理，由切线PN也过点P(1,0)，得
的两根，
，
把（*）式代入，得
，
因此，函数
的表达式为
…………………………4分
（2）当点M、N与A共线时，
，
，
化简，得
， ……………………………………3分
（3）
把（*）式代入（3），解得
∴存在t，使得点M、N与A三点共线，且 ……………………………… 2分
（3）解法1：易知在区间上为增函数，
，
则
…………………… 1分
依题意，不等式
对一切的正整数n恒成立，
，
即
对一切的正整数n恒成立. ……………………2分
，
由于m为正整数，
.
又当m = 6时，存在
，对所有的n满足条件，
因此，m的最大值为6.
解法2：依题意，当区间的长度最小时，得到的m最大值，即是所求值.
，∴长度最小的区间为[2，16]，
当
时，与解法1相同分析，得
解得
…………………………………………………………………………1分
后面解题步骤与解法1相同（略）.