高三数学期中考试学科素质训练

　　

2006－2007学年度上学期

高中学生学科素质训练

高三数学第一轮复习单元测试—期中试卷

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1．函数，的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　D．1

2．已知集合，集合，若，那么由的值所组成的

　 集合的子集个数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．1　　　　　　　　　　　　B．2　 　　　　　　　　　 C．3　 　　　　　　　　　 D．4

3．设m>0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x²+y²=m的位置关系为　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．相切 　　　　　　　　 B．相交 　　　　　　　　 C．相切或相离　　　　D．相交或相切

4．若函数，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　 　 B．　　　　　　　　　 C．　 　　　　　　　　 D．

5．在中，，如果一个椭圆通过、两点，它的一个焦点为，另

　 一个焦点在上，则这个椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　B．　　　　　　　C． 　　　　 D．

6．设奇函数在上是增函数，且，若函数对所有

　 的都成立，当时，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．　

　　　 C．或或　　　　  　　　D．或或

7．已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的

　 另一个焦点F的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

A．y²－＝1（y≤－1）　　　　　　　　　　 B．y²－＝1

　　　 C．y²－＝－1　　 　　　　　　　　　　　　　 D．x²－＝1

8．设、，且，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　 　　　　　B．

　　　 C．　　　　 　　　　　D．

9．已知向量= (2,0)，向量=(2,2)，向量=(，)，则向量与

　 向量的夹角的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．[0,] 　　　　　　　 B．[,]　　　　　 C．[,]　　　　　D．[,]

10．已知函数的图象与直线的交点中距离最近的两点间的距离为,那么等于　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．6 　　　　　　　　　　　B．2 　　　　　　　　　　　 C．1  　　　　　　　　　　 D．

11．已知数列，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则的值是　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．或 　　　　　D．

12．已知是方程的根，是方程x·10^x=2006的根，则x₁·x₂等于　　（　　）

　　　 A．2003　　　　 　 B．2004　　　　  　C．2005　　　　 　 D．2006

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在相应的横线上）

13．设x、y满足约束条件，则z=4x+3y的最大值为_________．

14．的展开式中的系数是________．

15．已知函数，则的解集为________．

16．与圆x²+y²－4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________.

三、解答题（本大题共6小题，满分74分）

17．（本小题满分12分）已知中，、、是三个内角、、的对边，关于 的不等式的解集是空集．

　 （1）求角的最大值；

　 （2）若，的面积，求当角取最大值时的值．

18．（本小题满分12分）（理）设函数与数列{}满足关系：①，其中是方程的实数根；②．如果的导数满足．

　 （1）证明；

　 （2）试判断与的大小，并证明你的结论．

　 （文）在数列中，，当时，其前项和满足．

　 （1）求；

　 （2）设，求数列的前项和．

19．（本小题满分12分）

已知f（x）=log_a（a＞0，a≠1）.

　 （1）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；

　 （2）当x∈（r，a－2）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a与r的值；

　 （3）若f（x）≥log_a2x，求x的取值范围.

20．（本小题满分12分）

设f（x）是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意a、b∈［－1，1］，当a+b≠0时，都有＞0.

　 （1）若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小；

　 （2）解不等式f（x－）＜f（x－）；

　 （3）记P={xy=f（x－c）}，Q={xy=f（x－c²）}，且P∩Q=，求c的取值范围.

21．（本小题满分12分）（理）点是椭圆短轴位于轴下方的顶点，过作斜率为1的直线交椭圆于点，点在轴上且∥轴，且=9.

　 （1）若，求椭圆的方程；

　 （2）若，求的取值范围．

　 （文）已知函数f(x)=x(x－a)(x-b)(0<a<b) ．

　 （1）设曲线y=f(x)在点O(0,0)处的切线为m，在点B(b,0)处的切线为n，试求m∥n的充要条件；

（2）若f(x)在x=s及x=t处取得极值，其中s<t。求证：0<s<a<t<b．

22．（本小题满分14分）

　　　（理）已知轴上有一列点，，，，，，当时，是把

段作等分的分点中最靠近的点，设线段，，，，的长度分别为

，，，，，其中．

　 （1）写出，和的表达式；

　 （2）证明++++；

　 （3）设点，在这些点中是否存在两个点同时在函数

的图象上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

　 （文）点是椭圆短轴位于轴下方的顶点，过作斜率为1的直线交椭圆于点，点在轴上且∥轴，且．

　 （1）若，求椭圆的方程；

　 （2）若，求的取值范围．

参考答案

1．答案　C：＝ ＝

＝＝

＝，∵，∴当，即时，函数有最小值．

评析　三角变换中，三角函数的次数往往不一致，这时可从三角函数的次数入手，总体原则是化高为低。本题所给函数中含有四次方与平方，故应降次，利用降幂公式即可解决问题。还应注意角的范围及三角函数的有界性。

2．答案 D：由已知，有和两种情况：若，那么方程 无解，此时；若，则有，故，即．所以由的值所组成的集合为，有2个元素．

故子集个数为个．

评析  解答集合问题，要正确理解所给各个集合及符号的含义。本题求解的关键是正确理解，其中可以是空集．

3．答案 C：解析：圆心到直线的距离为d=，圆半径为.∵d－r=－=（m－2+1）=（－1）²≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离.答案：C

4．答案 C：由，∴，∴，解得，∴，∴。

评析　本题主要考查多项式函数导数的求法及函数在某点处的导数值，

5．答案　A：设椭圆的长半轴为，短半轴为，，∵，，∴，则，即，，∴，由，得，∴

评析  本题主要考查椭圆定义的应用，先利用定义求出的值，再求的值，即的长，需在中求解，因此设法求的长，利用第一定义，水到渠成，求出以后，利用勾股定理即可求出的长，从而获解。

6．答案　C：由题意，在上恒成立，即恒成立，即，即，又，∴，得，∴或或。

评析　解决恒成立问题的主要手段是分离利用函数的思想，转化为函数的最值问题。如本题先转化为，又转化为一次函数在上恒成立问题，利用一次函数图象的特殊性，只须两个端点值成立即可。

7．答案 A：解析：由题意｜AC｜＝13，｜BC｜＝15，｜AB｜＝14，又｜AF｜＋｜AC｜＝｜BF｜＋｜BC｜，∴｜AF｜－｜BF｜＝｜BC｜－｜AC｜＝2.故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c=7，a=1，b²＝48，所以轨迹方程为y²－＝1（y≤－1）.答案：A

8．答案B　 由已知得，满足题设的点必在圆的内部。点必在圆的外部。故选。

评析　本题初看是一个不等式问题，若利用不等式的

有关概念和性质处理，则不易求解。应利用线性规划的思想

把视为平面内满足条件的点，利用点在圆的

内、外部解决。

9．答案 D：由题意，得：＝＋=(2+,2+)所以点A的轨迹是圆，如图，当A位于使向量与圆相切时，向量与向量的夹角分别达到最大、最小值，故选D。　　　　　　　　

评析　本题直接用向量夹角公式求解，运算量大。先确定点A的轨迹是圆，利用向量与圆相切的极限位置定出夹角的范围，无须计算，解法优美。确定直线与圆锥曲线相交的参数范围，这个方法非常有效。

10．答案B：设函数图象与直线的两个交点的坐标分别为、，且，则，由题意，，即，，则　①　 　②，②①得，得。

评析　本题实质是考查三角函数的周期问题，把交点问题转化为三角方程问题，利用方程的思想求解即可。

11．答案A：由，，，成等差数列，则==，又，，，，成等比数列，则=(－1)·(－4)=4，∴，又，，同号，故，∴=

评析　本题根据等差、等比数列的性质设法求

出及的值，即可解决问题，但应注意隐含

条件：，，同号，否则易选C。

12．答案　D：由已知得，令，　

。作出两个函数的图象，其交点横坐标为　

。同理令，交的横坐标为。由对称

性知，故x₁·x₂=2006.

评析　本题主要考查数形结合的数学思想，　

及函数图象的对称。首先把已知方程变形为容易做出函数图象的形式，利用对数函数与指数函数的对称性解决问题。

13．答案　36  ：作出可行域，如图。由，得B(,)，作直线l：4x+3y=t，当直线经过点B时，z=4x+3y取得最大值，即4x+3y=37

由于x、y必须是整数，故4x+3y取得最大值可能是37。

由及，得点(,9)，(3,)

由、的横坐标知，线段上没有整点，因此4x+3y取得最大值可能是36，

同上求得(0,12)、(4,)，所以整点横坐标只能是0、1、2、3，当x=1时，y=，不合题意；当x=2时，y=，不合题意．所以整点最优解为(0,12)，(4,)，使z=4x+3y取得最大值36。

评析　在线性规划问题中，常需求整点最优解，而对于整点最优解的寻找，教材中例题一带而过，下面介绍一种简易方法—调整优值法。当使目标函数取得最大值的点不是整点解时，求出经过该点的直线方程：Ax+By+C=0（C不是整数），调整直线方程为：Ax+By+=0，其中为最接近C的整数，根据可行域的特点，大于或小于C，求出与可行域的交点M、N，根据M、N的横坐标确定整点，求得的整点即为整点最优解。

14．答案　24：

=9，由题意，得。∴的系数为=24。

评析　高考对二项式主要有两个方面的考查：一、通项；二、赋值。本题正确写出二项展开式的通项，然后令的指数为3，求得的值，即可求出的系数。

15．答案  ：当时，，则，，化为，解得，同理可得。故不等式的解集为。

评析　本题主要考查抽象函数解不等式的问题，关键是正确求出与，然后分段求解即可。

16．解析：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴.答案：y²=8x（x>0）或y=0（x<0）

17．解  （1）∵不等式的解集是空集。∴，即，即，故，∴角的最大值为。

　 （2）当=时，，∴，由余弦定理得，∴，∴。

评析　解有关三角形的问题，必须熟练掌握正、余弦定理，三角函数以及与三角形面积、周长、内切圆、外接圆等知识，通过理解这些知识掌握各知识点间的关系并能够运用这些知识解决一些实际问题。本题（1）中结合不等式解集情况求出，进而得到角的最大值。（2）中熟练运用三角形面积公式及余弦定理，灵活变形，利用方程的思想求解。

18．解　（理）（1）当时，由题意知成立，

假设当时，成立，由，知函数为增函数，∴,又,,∴，即当时，不等式也成立。综上知对任意正整数，恒成立。

（2）令，则，由得，故 为增函数，当时，有,∴，即，由（1）知，∴，故。

评析　本题第（1）问利用数学归纳法证明，思路自然，在证时，利用导数与函数单调性关系巧妙论证；第（2）问实质是比较与的大小，因而构造函数，判断函数值的正负即可。

（文）（1）当时，，

∴，∴，∴，即数列为等差数列，，∴，∴，

当时，，

∴。

（2）=，

∴。

评析　高考文科对数列的考查主要在数列的基本运算、递推数列、同时含与的关系式的运算、数列求和这四大块。本题（1）中灵活利用与的关系合理消元，分类求解。（2）中考查裂项相消法求和。

19．剖析：单调性只要用定义证明，可先比较真数的大小再证.函数值域可利用函数的单调性确定端点后再比较，化为方程组求解.对数型不等式要化成同底后分a＞1与0＜a＜1求解，同时要注意定义域.

解：（1）任取1＜x₁＜x₂，则

f（x₂）－f（x₁）=log_a－log_a

=log_a

=log_a.

又∵x₂＞x₁＞1，∴x₁－x₂＜x₂－x₁.

∴0＜x₁x₂－x₂+x₁－1＜x₁x₂－x₁+x₂－1.

∴0＜＜1.

当a＞1时，f（x₂）－f（x₁）＜0，

∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；

当0＜a＜1时，f（x₂）－f（x₁）＞0，

∴f（x）在（1，+∞）上是增函数.

（2）由＞0得x∈（－∞，－1）∪（1，+∞）.

∵=1+≠1，∴f（x）≠0.

当a＞1时，

∵x＞1f（x）＞0，x＜－1f（x）∈（0，1），

∴要使f（x）的值域是（1，+∞），只有x＞1.

又∵f（x）在（1，+∞）上是减函数，

∴f^－1（x）在（1，+∞）上也是减函数.

∴f（x）＞11＜x＜f^－1（1）=.

∴∴

当0＜a＜1时，

∵x＞1f（x）＜0，x＜1f（x）＞0，

∴要使值域是（1，+∞），只有x＜－1.

又∵f（x）在（－∞，－1）上是增函数，

∴f（x）＞1－1＞x＞f^－1（1）=.

∴无解.

综上，得a=2+，r=1.

（3）由f（x）≥log_a2x得

当a＞1时，

＜x＜且x＞1.

∴1＜x＜.

当0＜a＜1时，

20．解：设－1≤x₁＜x₂≤1，则x₁－x₂≠0，

∴＞0.

∵x₁－x₂＜0，∴f（x₁）+f（－x₂）＜0.

∴f（x₁）＜－f（－x₂）.

又f（x）是奇函数，∴f（－x₂）=－f（x₂）.

∴f（x₁）＜f（x₂）.

∴f（x）是增函数.

（1）∵a＞b，∴f（a）＞f（b）.

（2）由f（x－）＜f（x－），得

　∴－≤x≤.

∴不等式的解集为{x－≤x≤}.

（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c，

∴P={x－1+c≤x≤1+c}.

由－1≤x－c²≤1，得－1+c²≤x≤1+c²，

∴Q={x－1+c²≤x≤1+c²}.

∵P∩Q=，

∴1+c＜－1+c²或－1+c＞1+c²，

解得c＞2或c＜－1.

21．解（理）（1）由题意，，，

∴·=··cos45°=²=9,得. ∴，代入椭

圆方程得，∴。故所求椭圆的方程为。

另解　直线的方程为，由，得，

∴=(0,1+b)·(1+b,1+b)=(1+b)²=9，以下同上。

（2）由=9，得　①，将代入椭圆方程得

，即，∵，∴，即　②，由①

得，代入③得，∴，解得。

评析　（1）中利用数量积公式，把向量关系巧妙转化为长度关系，进而求出的值，得到点的坐标代入椭圆方程即可，简化了运算。又利用两条直线的交点解出点的坐标，利用向量的坐标运算求出的值，有异曲同工之妙。 （2）中利用向量关系得到的方程，借助椭圆中隐含的关系建立不等式，非常巧妙。

（文） =3x²-2(a+b)x+ab（1）切线m的斜率==ab，切线n的斜率==b(b-a)，直线m∥n=，∴ ab=b(b-a) 即b=2a是m∥n的充要条件。

（2）由题意，s，t是方程=3x²-2(a+b)x+ab=0的两根，又∵=ab>0，=a(a-b)<0，=b(b-a)>0，∴ 在区间(0,a)，(a,b)上各有一个实根，又s<t，　

∴　0<s<a<t<b.

评析　本题综合性较强，要学会用导数解决或证明一些问题，尤其要注意导函数为二次函数的研究。

22．解 （理）（1）由已知，令，，所以，令，，所以，同理，

所以.

（2）因为

++++=

3；

而时，易知成立，所以++++。

（3）假设有两个点，，都在函数上，即，

所以，，消去得= ①，以下考查数列的增减情况，

，

当时，，所以对于数列有

∴不可能存在，使得①式成立，因而不存在。

评析　数列的递推关系及增减情况，是近几年高考压轴题的着眼点。

（文）（1）由题意，，，

∴·=··cos45°=²=(b+1)²=9,得。∴，代入椭圆方程得，∴。故所求椭圆的方程为。

另解　直线的方程为，由，得，

∴=(0,1+b)·(1+b,1+b)=(1+b)²=9，以下同上。

（2）由=9，得　①，将代入椭圆方程得，即，∵，∴，即 ②，由①得，代入③得，∴，解得。

评析　（1）中利用数量积公式，把向量关系巧妙转化为长度关系，进而求出的值，得到点的坐标代入椭圆方程即可，简化了运算。又利用两条直线的交点解出点的坐标，利用向量的坐标运算求出的值，有异曲同工之妙。 （2）中利用向量关系得到的方程，借助椭圆中隐含的关系建立不等式，非常巧妙。

 

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