高三数学期末试卷学科素质训练-高中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-高中数学试卷-试卷下载

2006－2007学年度上学期

　 高中学生学科素质训练

　　　高三数学第一轮复习单元测试—期末试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（理）若复数的值为　　　　（　　）

A．i 　　　　　　　B．1　　　　　 C．-1　　　　　　 D．-i

　（文）关于的函数的极值点的个数有　　　　　（　　）

　　　A．2个　　　　　　B．1个　　　　 C．0个　　　　　 D．由确定

2．设集合，，则中元素的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　A．0　　　　　　　 B．1　　　　　　 C．2　　　　　　 D．1或2

3．平面α与球O相交于周长为2π的⊙O′，A、B为⊙O′上两点，若∠AOB=，且A、B的球面距为则OO′的长度为　　　　　　　　　　　（　　）

　　　A．1　　　　　　　　B．　　　　 C．π　　　　　 D．2

4．图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示　　　　　　　　　　　　（　　）

A．　B．

　　　C．　 D．

5．在下列命题中，真命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　 A．直线都平行于平面，则

　 B．设是直二面角，若直线，则

　 C．若直线在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且，则或

　 D．设是异面直线，若平面，则与相交

6．（理）已知椭圆与双曲线有相同的焦点和.若是的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　 A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　D．

　（文）已知双曲线的一条准线与两渐近线的交点分别为、，相应于这条准线的焦点为，如果是等边三角形，那么双曲线的离心率为　　　　（　　）

A．2　　　　　　　B．　　　　　 C．4　　　　　　　　D．

7．曲线y=2sin(x+)cos(x－)和直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P₁，P₂，P₃，…，则P₂P₄等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A ．π　　　　　　　 B ．2π　　　　　 C． 3π　　　　　 D ．4π

8．（理）设可导函数是R上的奇函数，,且当x<0时，，则不等式的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　 A．　　　　　　　　　　　B．

　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　D．

（文）设函数是R上的偶函数，对于任意的都有，且，则　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　A．3　　　　　　 B．－3　　　　　 C．2　　　　　　 D．2006

9．设，函数，则函数的的取值范围是（　）

　 A．　　　　　　　 B．　　　 C．　　　　 D．

10．某人获悉一个岛上三处藏有宝物.由于年代久远,有的数据缺失,记载如下:岛上有一棵椰子树，由叶子树向东走3米为藏宝处A，继续向东走b米，到达B处然后向东偏北60°走a米为藏宝处C（其中a,b为缺少数据），由B向南走为藏宝处E，三个藏宝处在以B为焦点，椰子树的南北方向所在直线为相应的准线的双曲线上.寻宝的关键是推出a,b的值，a,b的准确值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　 A．28;4 　　　　　　　B．14;4　　　　　　　C．28;8　　　　　　　 D．14; 8

11．锐角三角形ABC中，若，则下列叙述正确的是　　　　　　　　（　　）

① ②　 ③　　　　　 ④

　 A．①②　　　　　　　　 B．②③　　　　　　 C．③④　　　　　　　D．④①

12．（理）过正方体任意两个顶点的直线共28条，其中异面直线有

　 A．32对　　　　　　　B．72对　　　　 C．174对　　　　　 D．189对

　（文）若O是平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，且满足()，则P点的轨迹一定过△ABC的

A．外心　　　　　　　B．内心　　　　　　 C．重心　　　　　　 D．垂心

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 把答案直接写在横线上

13．某计算机执行以下程序：

（1）初始值x = 3，s = 0；

（2）x = x + 2；

（3）s = s + x；

（4）若s≥2003，则进行（5），否则从（2）继续执行；

（5）打印x；

（6）stop。

那么由语句（5）打印出的数值为__________________.

14．（理）设的展开式中各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，如A+B=272，则展开式中的系数为　　　　　。

（文）展开式中的系数是　　　　。

15．在△ABC中，B（－2，0）、C（2，0）、A（x，y），给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边△ABC满足的条件及相应的右边A点的轨迹方程连起来.（错一条连线得0分）

①　△ABC周长为10　　　　　　　　　：　y²=25

②　△ABC面积为10　　　　　　　　：　x²+y²=4（y≠0）

③　△ABC中，∠A=90°　　　　　　　　　　： +=1（y≠0）

16．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：

　　第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；

　　第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；

　　第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；

　　第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．

这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）已知，将的图象按向量平移后，图象关于直线对称．

　（1）求实数的值，并求取得最大值时的集合；

　（2）求的单调递增区间．

18．（本小题满分12分）（理）口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，二张标有数字3，第一次从口袋里任里任意抽取一张，放回口袋里后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为．

（1）为何值时，其发生的概率最大？说明理由；

（2）求随机变量的期望．

（文）有一种博彩游戏，其规则如下：庄家在口袋里装黑、白围棋子各8枚，博彩者从中随机一次摸出5枚，摸一次交手续费1元，中彩情况如下：

摸子情况	5枚白	4枚白	3枚白	其它
彩　　金	20元	2元	纪念品价值5角	无奖

　（1）分别求博彩一次获20元彩金，2元彩金，纪念品的概率；

　（2）如果游客博彩1000次，庄家是赔钱还是赚钱？金额约是多少元？（精确到元）

19．（本题满分12分）、如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

　（1）若k=1,试求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小.

　（2）当k取何值时，二面角O－PC－B大小为？

20．（本题共12分）已知数列中，，且．

　（1）若，求证：数列是等比数列．

　（2）求数列的通项公式．

　（3）（仅理科）若，试比较…与．

21．（本题满分12分）已知抛物线y² = 2px （ p>0）的焦点为F，直线l过定点A（1，0）且与抛物线交于P、Q两点.

　（1）若以弦PQ为直径的圆恒过原点O，求P的值；

　（2）在（1）的条件下，若 + = ，求动点R的轨迹方程.

22．（本小题满分14分）已知数列{}中，（n≥2，），

　（1）若，数列满足（），求证数列{}是等差数列；

　（2）若，求数列{}中的最大项与最小项，并说明理由；

　（3）（理做文不做）若，试证明：．

参考答案

1．（理）D 。

点评：据“纯虚数”概念，求出a，再对化简求值。其思想是分母实数化——分子分母同乘以的共轭复数，这种思想与分母（分子）实数化的思想是一致的。此题的另一个技巧处理是：

（文）C　恒成立，所以为的增函数。

点评：对三次函数常见的处理方式是先求导降次，再由判断二次式根的情况。

2．A．集合是有序实数对，是二维的，而集合是函数的值域，是一维的，因此，故选A.

点评：本题关键是正确理解集合M、N各自的意义，否则，容易误以为是直线与抛物线的交点．

3．A ⊙O′的半径为1，球O的半径为，所以OO′的长度为

点析：“球面距”是球中很重要的一个概念。此题最终目的是对球中一个重要直角三角形（小圆半径、球半径、球心到小圆面的距离构成的一个直角三角形）的考查，这也是高考的常考点。

4．C. 通过读图形，显然可以得到，，将原点坐标代入知成立．

点析：线性规划是高中的新增的知识点，一般在选择、填空题中出现．

5．C　A错，当直线m、n都平行于平面α时，这两条直线平行、相交、异面皆有可能。B错，因为没有点明直线的位置。C正确。D错，此时的直线n可能与平面α相交，也可能在α内。故选C。

点析：本题主要考查了立体几何的关系的判断，是一道多选题。此类题的思维容量大，考查的知识覆盖面广，也是高考考查的一类热点问题。

6．（理）A　由已知椭圆与双曲线有相同的焦点可知a² –b² = m² +n²，又c² = am，2n² = 2m² +c²，解得a² = 16m²，b²=12m²，∴椭圆的离心率为e=。选A。

点析：本题以椭圆与双曲线共焦点为背景，将等差中项、等比中项的基本运算融合进来，对计算及解方程的能力要求较高，这也正体现了2007年最新的《考试大纲》中对运算能力的考查要求。

　（文）A 不妨设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），则渐近线的方程为，准线方程为x =±。设双曲线的准线x =与其渐近线分别相交于A、B　　　　　　　两点，由双曲线的性可知 A、B两点关于x轴对称，易求得CF=c - ＝，又AB＝2CA＝2××＝，又∵△ABF为等边三角形,∴CF=AB,　即＝×，整理得ab＝b²，∴，从而e = 。故选A.

点析：此题虽然是关于双曲线的一个基本计算题，但它不仅考查了双曲线的基本概念及基本性质，还将离心率的计算与等边三角形中的线段的计算相结合，使得题目的内涵增大，考查功能增强，解决此类题目要求考生有较强的运算能力和较强的分析问题、解决问题的能力。

7．A　曲线y=2sin(x+)cos(x-)=2 sin( - x ) cos(-x)= sin（2 -2x）=2COS2x，由此做出函数图象，再分析P₁，P₂，P₃，…的具体位置，求出P₂P₄=π

点析：本题主要体现了三角函数的二倍角公式，以及余弦函数的图象特征，由此解决问题，解决问题时时画出图象，帮助分析更加直观。

8．（理）D．由是R上的奇函数可知，，即x=0是原不等式的解，则正确答案是C、D中之一；∵或，又当x<0时，，且，可以推出是R^＋上为增函数，∴时，，是原不等式的解．故选D．

点析：首先要根据题意掌握函数的特性（最好画出其草图），其次利用特殊值法或解不等式组都能解决这类问题．

　（文）A．在中取，

则即函数是周期为6的函数，∴，，所以．

点析：大多数这类求等等值的问题都是转化为周期函数来解．因此取得到和是周期为6的函数．

9．C 在上是减函数，所以。

点析：此题本质是考查函数及其复合函数的单调性。如果按常规思路，先求出，再求出的取值范围，势必比较麻烦。

10．建立坐标系,由第二定义得，，然后特值验证，选A；

点析：利用圆锥曲线的几何量解决应用问题,这本身就是学习数学的出发点和归宿. 对于选择题常常选择支验证,如本题由第二定义得到二元一次方程时应验证选择支求解.

11．B

。

点析：三角形中的三角函数有关问题是历来考查的一个重点。此题中对于同学们会误认为，而认为是错误的。殊不知，此外对的处理（利用正弦定理，将其转化成角的关系）也是需要积累的。

12．（理）C　法一：1 正方体八个顶点共面有12种情况，且每个面内涉及条直线。2 以正方体的8个顶点为顶点的等边三角形共有8个，且每个等边三角形涉及3条直线。故所有异面直线的对数为。

法二：以正方体的8个顶点为顶点的三棱锥有个，任意一个三棱锥中有3对异面直线的对数为。所以正确答案为C。

点析：此题沿袭2005全国Ⅰ（理）12题，考查的难度比较大，需要认真仔细分析找到解题路径。最后多总结，把本题的解法总结成一种思路。

　（文）C　（D为AB边的中点）。

点析：对三角形中的“中线向量公式”应该引起重视。学生可进一步思考其他几“心”，如：满足的P点的轨迹一定过△ABC的垂心。

13．89　　由题意可知，数列{an}是以5为首项，2为公差的等差数列，S_n是等差数列{x_n}的前n项和。由Sn = 5n + ≥2003，可解得n≥43.　∴ x₄₃＝5＋（43-1）×2＝89.∴由语句（5）打印出的数值为89.

点析：本题以计算机程序语言为背景考查等差数列的通项公式与前n项和公式，迁移与转化能力是解决这一类问题的关键。

14．（理）　赋值法得A=，B=，所以，所以含项为，所以正确答案应该填108。

　（文）　因为，所以正确答案应该填-160

点析：项的系数与二项式的系数是不同的两个概念，而求各项的系数和应采用赋值法，求二项式系数和利用公式。

15．①→，　②→，　③→．①　由AB+AC=6，得+=1（y≠0）；

　　②　由BCy=10，得y²=25；③　由AB²+AC²=BC²，得x²+y²=4（y≠0）．

点析：本题的设计是比较新颖的,是一道配对型的选择性的填空题.显然是一道活题,是考知识、考能力的好题．

16．　5.　按各放２张，你可以算出正确的答案是５．各放张呢，答案应当是一样的呀！

点析：考试大纲中要求，考查学生的实践能力，动手操作能力．本题将数学与日常的游戏结合起来，显示了淡化知识，重视能力的命题新格局．

17．（１），将的图象按向量平移后的解析式为．…………………………3分

的图象关于直线对称，

有，即，解得．　 ……………………5分

则．　 ……………………………6分

当，即时，取得最大值2．…………………7分

因此，取得最大值时的集合是．……………………8分

（２）由，解得．

因此，的单调递增区间是．……………………12分

点析：本题是一个常规性考查三角函数的题目，第一问要先化简解析式，然后利用向量的平移公式求出平移后的函数解析式，再利用对称性确定出a的值后，用整体法求单调区间。

18．（理）（１）依题意，随机变量的取值是2、3、4、5、6．　　　　　（2分）

因为P（=2）=；P（=3）=，

　P（=4）=；P（=5）=；

　P（=6）=；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（7分）

所以，当=4时，其发生的概率P（=4）=最大．　　　　　　　（６分）

（２）E=．　　　（12分）

点析：概率解答试题理科多是高三的概率与统计内容，而文科则多出现在高二的概率知识里．这点应当引起我们在复课时的注意．

（文）（１）一次摸奖中20元彩金的概率；　　　　（2分）

一次摸奖中2元彩金的概率；

中纪念奖概率　　　　　　　　　（６分）

（2）1000次收手续费1000元．

预计支付20元奖需；

支付2元奖需元；　　　　　　（９分）

支付纪念奖需元；　

则余额n=1000－m₂₀－m₂－m_纪=308元．

故庄家赚钱约308元．　　　　　　　　　　　　　　　（12分）

点析：概率知识的复习应当紧扣课本，紧扣高考真题．在课本上的基本概念、基础知识的熟练掌握和深刻理解的前提下，适度提升复习的门槛，这也许是有效学习，高效速练的好办法．

19．法一：（1）设AB＝a,由点O、D分别是AC、PC的中点知：为所求异面直线PA与BD所成角.

又OP⊥底面ABC，

.从而

即异面直线PA与BD所成角余弦值的大小为.

　 (2)过O作OEPC交PC于E，

有、为所求二面角O－PC－B的平面角.设AB＝a，PO＝h.

，解得

故当 k=时，二面角O－PC－B大小为

法二：（向量法）

易证OP⊥平面ABC，又OA=OC，AB=BC，

从而OA⊥OB，OA⊥OB，OB⊥OP

以O为原点，射线OP为非负x轴，

建立空间直角坐标系O-xyz ,（1）设AB=a,则，，

即异面直线PA与BD所成角余弦值的大小为.

(3)设AB=a,为平面OPC的一个法向量.

不妨设平面PBC的一个法向量为，

故当 k=时，二面角O－PC－B大小为.

点析：设计“一题二法”是近几年立体几何综合的基本模式。考查一题多解。其实是在考查考生的解三角形知识，考试结果表明，一般学生解题中遇到的主要障碍也在于此。本题给我们的教学启示是——要关注立体几何命题与三角函数、解三角形知识之间的联系，在教学实践中要指导学生如何运用分析的方法，从复杂的空间图形关系中抽象出对应的三角形，掌握“化空间问题为平面问题，化复杂问题为简单问题”的化归思想，同时注意掌握求解折叠问题的解法规律.另外，通过本题要教会学生如何在一般图形中，建立恰当的空间直角坐标系.

20．⑴由已知得，∴，∴是首项为，公比为的等比数列……………………………………3分（文5分）

⑵由⑴得，即，………4分（文7分）

∴，，…，，

将上列各等式相加得，∴…………..6分（文9分）

又时，…，∴

综上可知…………………………………………………8分（文科12分）

⑶由得…………………………9分

∵，又，∴，，

∴，∴，∴…………………………10分

∴………

12分

点析：含有数列递推公式的问题，一般是对递推公式进行变形，将其转化为等差数列或等比数列，再求出通项．如本题（1）；另外在解决问题的过程中，要注意特殊情形的讨论（如n=1,q=1,d=0等等），如本题（2）；对大小比较的问题，应先根据题意判断大小，再证明你的结论．如本题（3），在“…”和“”的启发下，容易联想到将放缩成两个等比数列（公比应该为2和），最后发现．这类问题在近几年的高考试题中经常出现．