2006－2007学年度上学期
高中学生学科素质训练
高三数学第一轮复习单元测试（10）—《极限、导数》
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一
个选项正确
1．（理）若复数
满足方程
，则
（ ）
A．
B． 
C．
D． 
(文)曲线y=4x－x3在点(－1,－3)处的切线方程是 （ ）
A． y=7x+4 B． y=7x+2 C． y=x－4 D． y=x－2
2．函数y=x2(－
≤x≤)图象上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角
的范围是 （ ）
A．［0,
］∪［
,π］ B．［0,π］
C．［,］ D．［0,］∪(
,)
3．（理）若
,则a的值为 （ ）
A．0
B．1 C．－1 D．
（文）在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则
为（ ）
A．Δx+
+2 B．Δx－－2
C．Δx+2 D．2+Δx－
4．曲线y=
x5+3x2+4x在x=－1处的切线的倾斜角是 （ ）
A．－
B．
C．
D．
5．函数f(x)=x3－ax2－bx+a2在x=1时,有极值10,则a、b的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．以上皆错
6．（理）已知
，下面结论正确的是 （ ）
A．
在
处连续
B．
C．
D．
（文）设f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,则a的值等于
A．
B．
C．
D．
7．函数f(x)=x3－3x+1,x∈［－3,0］的最大值、最小值分别是 （ ）
A．1,－1 B．1,－17 C．3, －17 D．9,－19
8．（理）数列{an}中，a1=1,Sn
是前n项和.当n≥2时，an=3Sn,则
的值是（ ）
A．－
B．－2 C．1
D．－
（文）曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程为 （ ）
A．y=3x－4 B．y=－3x+2 C．y=－4x+3 D．y=4x－5
9．（理）2+2
i的平方根是 （ ）
A．+i
B．±i C．±+i D．±(+i)
（文）已知f（x）=2x3－6x2+m（m为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是 （ ）
A．－37 B．－29 C．－5 D．以上都不对
10．已知函数
的图象如右图所示（其中 
是函数
的导函数），下面四个图象中
的图象大致是
11．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,
＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 （ ）
A．（－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3)
C．(－∞,- 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)
12．已知两点O（0,0），Q（
,b）,点P1是线段OQ的中点，点P2是线段QP1的中点，P3是线段P1P2的中点，┅，
是线段
的中点，则点的极限位置应是（ ）
A．（
,
）
B．(
) C．(
) D． (
)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)
13．垂直于直线2x－6y+1=0且与曲线y=x3+3x2－1相切的直线方程的一般式是__________.
14．(理) （2006年安徽卷）设常数
，
展开式中
的系数为
，则
_____.
(文)(2006福建高考)已知直线
与抛物线
相切，则
15．函数f(x)=2x3+3x2－12x－5,则函数f(x)的单调增区间是______.
16．（理）用数学归纳法证
的过程中，当n=k到n=k+1时，左边所增加的项为_______________.
（文）若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是______________．
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）
（理）设函数
（1）画出函数的图象；
（2）在x=0，x=3处函数是否连续；
（3）求函数的连续区间.
（文）已知函数
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若曲线
上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.
18．（本题满分12分）
（理）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求 z1·z2的最大值和最小值.
（文）(2006福建高考)已知是二次函数，不等式
的解集是
且 在区间
上的最大值是12。
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数
使得方程
在区间
内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分12分）
已知
有极大值
和极小值
.
（1）求+的值；
（2）设曲线的极值点为A、B，求证：线段AB的中点在上.
20．（本小题满分12分）
（理）函数
的定义域为R，且
（1）求证：
（2）若
上的最小值为
，
求证：
.
（文）(2006安徽高考)设函数
，已知
是奇函数。
（1）求
、
的值．
（2）求
的单调区间与极值．
21．（本小题满分12分）
（理）如图，在平面直角坐标系xOy中，射线
上依次有点列A1，A2…，An，…；B1，B2，…，Bn，….其
中
，
（1）用含有n的式子表示
；
（2）用含有n的式子表示点An、Bn的坐标；
（3）求四边形
面积的最大值.
（文）(2006陕西高考)已知函数f(x)=kx3－3x2+1(k≥0).
（1）求函数f(x)的单调区间;
（2）若函数f(x)的极小值大于0, 求k的取值范围.
22．（本大题满分14分）
自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.
（1）求xn+1与xn的关系式；
（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（3）(只理科做)设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.
参考答案（10）
1．（理）设
，由
，得
，得
。所以
.答案:D
（文）
,所以k切=4－3×(－1)2=1,运用直线的点斜式方程得y=4x－x3在点(－1,－3)处的切线方程是y=x－2,所以应选D.
2．y′=2x.∵－≤x≤,∴－1≤y′≤1,即－1≤tanα≤1.又∵0≤α＜π,∴0≤α≤ 或≤α＜π.答案:A
3．（理）∵
存在，而把x=2代入分母时，分母为零，∴分子、分母应有(x－2)这一公因式，化简以后，再求极限.∴分子x2+ax－2可分解成(x－2)(x+1)，即x2+ax－2=(x－2)(x+1)=x2－x－2.∴a=－1.答案: C
（文）=
=Δx+2.答案:C
4．y′=x4+6x+4,∴y′
=(－1)4+6(－1)+4=－1.由tanα=－1,0≤α＜π,得α=
π.
答案:C
5．f′(x)=3x2－2ax－b.∵函数f(x)在x=1处有极值10,∴
解得
答案:A
6．（理） 当x=1 时，2x+3=5
2,故A、B错误；而
=5，故选D.
（文）f′（x）=3ax2+6x,f′（－1）=3a－6=4,所以a=.答案:D
7．f′(x)=3x2－3=3(x－1)(x+1).令f′(x)=0得x=－1或x=1(舍去).
列表如下:
| x | －3 | (－3, －1) | －1 | (－1,0) | 0 |
| f(x) | －17 | ↗ | 3 | ↘ | 1 |
∴f(x)max=3,f(x)min=－17.答案:C
8．(理)当n≥2时，an=Sn－Sn－1=3Sn,∴Sn=－Sn－1.又S1=a1=1，∴{Sn}是以1为首项，－ 为公比的等比数列.∴= 
=－.答案: A
(文)y′=3x2－6x,∴y′x=1=－3.∴在（1,－1）处的切线方程为y+1=－3（x－1）.答案:B
9．(理)设2+2i的平方根是a+bi(a、b∈R),
则(a+bi)2=2+2i,即a2－b2+2abi=2+2i.由复数相等的定义,得
解得
或
即2+2i的平方根是±(+i).答案:D
(文)
（x）=6x（x－2），f（x）在（－2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数的，x=0时，f（x）=m最大.∴m=3，f（－2）=－37，f（2）=－5.答案：A
10．由函数的图象可知：当
时， 
<0，
>0，此时增,当
时，
>0，<0，此时减,当
时，<0，<0，此时减,当
时，>0，>0，此时增.答案:C
11．∵当x＜0时,＞0 ，即
,∴当x＜0时，f(x)g(x)为增函数，又g(x)是偶函数且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0,故当
时，f(x)g(x)＜0,又f(x)g(x)是奇函数，当x>0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0,故当
时，f(x)g(x)＜0,故选D
12.∵点的位置应是(
,∴点的极限位置应是().答案:C
13.∵所求直线与2x－6y+1=0垂直，∴k=－3.又由y=x3+3x2－1,得y′=3x2+6x=－3.∴x=－1,切点为(－1，1).∴直线方程为y－1=－3(x+1),即3x+y+2=0.答案: 3x+y+2=0
14．(理) 
，由
，所以
，所以为1.
(文)∵ 直线与抛物线相切,切线的斜率
,∴切点
,而切点又在抛物线上,∴ 
故
.
15．分析:本题考查用导数求函数的单调区间,但要注意单调区间的写法.解:f′(x)=6x2+6x－12,令f′(x)＞0,得6x2+6x－12＞0,解得x＜－2或x＞1,即函数f(x)的单调增区间是(－∞,－2)或(1,+∞).答案:(－∞,－2)或(1,+∞)
16．（理)当n=k到n=k+1时，左边增加了两项
,减少了一项
,左边所增加的项为
－
=
.答案:
(文)f′（x）=3x2+2x+m.∵f（x）在R上是单调递增函数,∴f′（x）＞0在R上恒成立，即3x2+2x+m＞0.由Δ=4－4×3m＜0,得m＞.答案:m＞
17．(理)⑴图略；
⑵
，
，
处连续 ， 同理
处连续；
⑶连续区间为(－∞，+∞).
(文)（1）由题设知
.
令
.
当（i）a>0时，
若
，则
，所以在区间
上是增函数；
若
，则
，所以在区间
上是减函数；
若
，则，所以在区间
上是增函数；
（i i）当a＜0时，
若
，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是减函数；
若
，则，所以在区间
上是增函数；
若
，则，所以在区间
上是减函数.
（２）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在
处分别是取得极值
，
.
因为线段AB与x轴有公共点，所以
.
即
.所以
.
故
.
解得 －1≤a＜0或3≤a≤4.
即所求实数a的取值范围是[-1，0]∪[3，4].
18．(理)
|
故
的最大值为
最小值为
.
(文)（1）
是二次函数，且的解集是
可设
在区间上的最大值是
由已知，得
（2）方程等价于方程
设
则
当
时，
是减函数；
当
时，
是增函数。
方程
在区间
内分别有惟一实数根，而在区间
内没有实数根，
所以存在惟一的自然数
使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根.
19．（1）
，由于有极大值和极小值，
、
的两根，
则
（2）设
知AB的中点在
上
20．(理)解：⑴
定义域为R，
⑵由⑴知
(文)（1）∵
，∴
.从而
＝
是一个奇函数，所以
得
，由奇函数定义得
；
（2）由（Ⅰ）知
，从而
，由此可知，
和
是函数是单调递增区间；
是函数是单调递减区间；
在
时，取得极大值，极大值为
，在
时，取得极小值，极小值为
.
21．(理)⑴由已知得
，
所以，是首项为
，
公比为
的等比数列，
⑵设
是首项为
公差为的等差数列，
设
. 所以
⑶设四边形
的面积是
，则
∴数列
单调递减
.∴四边形
的面积的最大值为
(文)（1）当k=0时,f(x)=－3x2+1,∴f(x)的单调增区间为(－∞,0),单调减区间[0,+∞].
当k>0时 , f '(x)=3kx2－6x=3kx(x－)．
∴f(x)的单调增区间为(－∞,0) , [ , +∞], 单调减区间为[0, ].
（2）当k=0时, 函数f(x)不存在最小值.
当k>0时, 依题意 f()= － +1>0 ,
即k2>4 , 由条件k>0, 所以k的取值范围为(2,+∞).
22．（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得
因为x1>0，所以a>b.
猜测：当且仅当a>b，且
时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（3）若b的值使得xn>0，n∈N*
由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知
0<xn<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1.
而x1∈(0, 2)，所以
由此猜测b的最大允许值是1.
下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时，结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2),
则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0.
又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,
所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.
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