高三数学联考(文)

上海市十一所实验示范校07高三联考数学（文）2007.3.15

1．设= 　　　　　　。

2．点P（x，y）满足：，那么点P的轨迹为　　　　　　　  。

3．函数的值域为　　　　　　　　  。

4．过点A（2，4），且切y轴于点B（0，2）的圆方程为　　　　　　  。

5．梯形ABCD中，。设E，F分别是BC和CD的中点，则用表示向量为　　　　　　 。

6．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么Z=x－y的取值范围是　　　　 。

7．函数的图象关于直线x=2对称，则b=　　　　　 。

8．在等差数列中，公差d等于2，又则

=　　　　　　 。

9．对任意函数在其公共定义域内，规定若

　 的最大值为　　　　　　  。

10．因干旱水源不足，自来水公司计划下周一至周日的7天中选择2天晚上6:00—12:00停止供水，但不会连续两天停水，某学校固定每周六晚上开放学生浴室，那么下周发生浴室不能开放事件的概率为　　　　　　  。

11．坐标平面上点（7，5）处有一光源，将圆投射到x轴所得的影长为　　　　　 。

12．已知函数满足：对任意的，当时，总有的取值范围是　　　　　　 。

13．对任意直线l，平面上必有直线m，使m与l成为（　　）

　　　 A．平行直线　　　　　　B．相交直线　　　　　　C．垂直直线　　　　　　D．异面直线

14．某次求职考试，试卷内只有5个单选题，满分100分，每题答对时得20分，答错得0分，不倒扣分，阅卷完毕后，考评组公布了每题的答对率如下：

题号　　一　　　二　　　三　　　四　　 五

　　 答对率　 81%　　66%　　60%　　48%　　45%

问此次考试，全体求职人员的平均分为　　（　　）

　　　 A．70分　　　　　　　　　B．65分　　　　　　　　　C．60分　　　　　　　　　D．55分

15．函数在区间A上是递增函数，那么区间A为（　　）

　　　 A．（－∞，0）　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　D．

16．已知数列的通项公式设其前n项和为S_n，则能够使S_n<－5成立的正整数n（　　）

　　　 A．有最小值63　　　　B．有最大值63　　　　C．有最小值31　　　　D．有最大值31

17．已知复数

　 （1）设复数

　 （2）当复数z满足z=1，求z－z₁的最大值。

18．设数列{a_n}的通项公式为

　 （1）写出数列{a_n}的前7项。

　 （2）当时，证明k²－k必为偶数。

　 （3）设k为一正整数，证明在数列{a_n}中，必可找到某项a_m，使a_m=k。

19．已知：

　 （1）求的值。

　 （2）设，解关于x的方程：

20．正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=4，BB₁=3，D，F分别为AB，A₁C₁的中点，在BB₁上有一点E，BE=1

　 （1）求异面直线DF和CE所成角的大小。

　 （2）设P为BB₁上的动点，问当BP的长度为多少时，

CP和DF垂直。

21．已知二次函数满足：对任意实数x，都有，且当（1，3）时，有成立。

　 （1）证明：。

　 （2）若的表达式。

　 （3）设　，若图上的点都位于直线的上方，求实数m的取值范围。

22．（1）数列{a_n}和{b_n}满足 （n=1，2，3…），求证{b_n}为等差数列的充要条件是{a_n}为等差数列。（8分）

　 （2）数列{a_n}和{c_n}满足，探究为等差数列的充分必要条件，需说明理由。[提示：设数列{b_n}为]

1．　 2．线段　 3．（1，+∞）　 4．

5．　 6．[－3，1]　 7．18　 8．2　 9．1　 10．　 11．

12．

二、选择题

13.C　14.C　15.B　16.A

三、解答题

17．解：（1）　 ………………2分

∵　 …………2分

∴　 …………2分

（2）解法1：令t=z－z₁=1，则z=t+z₁　

∵z=1，∴t+2－2i=1　　…………2分

复数t对应的点在圆心为－2+2i，半径为1的圆周上　…………2分

∴t_最大=－2+2i+1=2+1

即z－z_1最大=2+1　…………2分

解法2：设

令

上式

∴

解法3：前面如同（2），

令　∵a，b满足a²+b²=1

利用线形规划的数学方法，也可以求出

∴

用解法2，或者解法3的方法解题，各步骤具体得分参考解法1标准给分。

18．解：（1）；

（2）∵时。k与k－1为一奇数和一偶数

∴必为偶数，命题得证

（3）设k为正整数

要使，　只要　…………2分

8n－7=4k²－4k+1

即 　…………2分

由（2）的证明可知　必为正整数，设为t，则取m=t+1 …………2分

∴数列中存在一项a_m，使得

19．解：（1）∵　∴

解出 　 …………2分

∵，　 …………2分

∴　 …………2分

（2） ……2分

　　　　  　 …………2分

　　　　 

　　　　　=3　 …………2分

∴

∴　…………2分

20．解：（1）取B₁C₁中点G，连FG，BG，又BG交EC于H

∵FG平行且等于A₁B₁，DB平行且等于A₁B₁，

∴FG平行且相等于DB

∴FGBD为平行四边形， ∴FD//GB，

异面直线DF与CE所成的角为∠EHB在

侧面B₁C上，如图建立坐标系

∵E（0，1），C（4，0），∴

∵B（0，0），G（2，3），∴

∴

即异面直线DF与CE所成的角为

解法2：图中，

∴

而

∴异面直线DF与CE所成的角为

（2）如（1），利用建立坐标系的方法，设 ……2分

　…………2分

要使得，即8－3x=0，∴　…………2分

∴当BP=时，CP与DF垂直

21．解：（1）由条件知 恒成立

又∵取x=2时，与恒成立

∴　 …………4分

（2）∵　 ∴ ∴ ……2分

又 恒成立，即恒成立

∴，　…………2分

解出：

∴　 …………2分

（3）由分析条件知道，只要图象（在y轴右侧）总在直线 上方即可，也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是：

　 利用相切时△=0，解出　　…………4分

∴　 …………2分

解法2：必须恒成立

即 恒成立

①△<0，即 [4(1－m)]²－8<0，解得：　……2分

②　 解出：　 …………2分

总之，

22．证明：（1）必要性　 若{b_n}为等差数列，设首项b₁，公差d

则

∵　 ∴{a_n}为是公差为的等差数列 ……4分

充分性　若{a_n}为等差数列，设首项a₁，公差d

则

∴

当n=1时，b₁=a₁也适合

∵b_n+1－b_n=2d， ∴{b_n}是公差为2d的等差数列　 …………4分

　 （2）结论是：{a_n}为等差数列的充要条件是{c_n}为等差数列且b_n=b_n+1

其中　（n=1，2，3…）　…………4分