高三数学第一学期期末联考试题
命题人：岳西中学 储炳南 审题人：野寨中学：徐金友
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（试题卷）和第Ⅱ卷（答题卷）两部分,共150分。考试时间120分钟。
2．考生一律不准使用计算器。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共55分；每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。）
1．已知向量
，
，则
与
（ ）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
2.设A={x-1<x<2},B={xx2<a},若B
A,则实数a的取值范围是( )
A．a<1 B．a≤1 C．0≤a≤1 D．1≤a≤4
3、下列不等式中解集为实数集R的是 （ ）
A．
B．
C．
D． 
4.若等差数列前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项之和为（ ）
A.84 B.72 C.36 D.-24
5.若
，则
的值为
（ ）
A、2 B、
C. -2 D. 
6.已知
,且方程
的解依次成等差数列,则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2、3、4
7. 在
的展开式中，任取一项，则取出的是有理项的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．下列关于函数
的叙述正确的是（ ）
A．当且仅当x=1时，
取得最小值2
B．当且仅当
时，取得最小值2
C．当且仅当
时，取得最小值2 D．当且仅当
时取得最大值4
9． 已知函数的导数
处取得极大值，则a的取值范围是 （ ）
A．（－
，－1） B．（－1，0） C．（0，1） D．（0，+）
10.已知函数
，若方程
的两根分别为
,若
,则
的最大值为( )
A． B． C．
D．1
11．已知
，满足
且
，则
的取值范围是（ ）
A．[0，1] B．（0，1） C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
12.设O是△ABC内部一点，且
的面积之比为
13. 已知
，则
=
14．在等比数
中,
,前
项和为
,若数列
也是等比数列,则等于
15．随机变量ξ的分布列为
,k=1、2、3、4，c为常数，则
的值为
三、解答题（本大题共6小题，共79分）
16．（12分）已知集合
（1）若
，求a的取值范围；（2）若
，求
的取值范围。
17．（12分）设函数
,
图像的一条对称轴是直线
.（1）求
值；（2）求函数的单调递减区间； (3)已知A、B函数的图像上任意两点，求直线AB的斜率的取值范围。
18．（14分）已知函数
在
上是增函数。（1）求a的取值范围；（2）求的极值；（3）若有三个不同的实根，求a的取值范围。
19.（14分）某工程建设中，需用宽为2，长为
的矩形铁皮建造大量的长度为的引水槽，按工程设计要求，引水槽过水横断面应设计为等腰梯形，为了使引水槽的过水流量最大，应使引水槽的横断面面积S为最大，如果设引水槽横断面的等腰梯形的腰长为x，腰与下底的夹角为
（如图所示）。
（1）试将S表示成关于
和的函数；
（2）当一定时，求S的最大值
；
（3）当为何值时，(2)中取得最大值，并求出最大值和此时
的值。
20．（13分）在正方体骰子的六个面中,有三个面标有数字0,两个面标有数字1,一个面标有数字2, 现同时抛掷三枚骰子.
（1）求三枚骰子出现的数字之积最大的概率；（2）求数字0、1、2各出现一次的概率；（3）求三枚骰子出现的数字之积的分布列与数学期望。
21．（14分）有一种摇奖盘是将一单位圆分成n（
）个均匀的扇形区域构成的（如图所示），现需将这n个扇形区域用三种不同颜色涂色，并要求三种颜色都要使用，且相邻的区域不能同色。如果把含有n（）个扇形区域的摇奖盘的涂色方法数记为
。（1）求：
、
；（2）试用、
表示
（只要求写出关系式）；并证明数列
（）是等比数列；（3）求数列（）的通项公式。
第Ⅱ卷(答题卷)
二、填空题：
12． ；13． ；14． ；15． 。
三、解答题(注意:答题时不要超出方框)
16.
17.
18.
 |
19.
20.
21.
参考答案:
一、选择题 1.A; 2.B ; 3. A ;4. C ; 5. B ;6. D; 7.C ;8.C ; 9.B ; 10.C 11.D .
1.A
2.解析：当
时，
，当
时，
由B A
∴a≤1,故选B.
另解: 
.
3. ∵
的解集为R，故选A
4.解析：思路1：特殊值法，令n=1，则
S1=a1=48,a2=S2-S1=12
∴d=-36 ∴a3=a2+d=-24,
∴S3=48+12-24=36 故选 C
思路2；由
成等差数列，知：
∴ 
故选 C
思路3： 由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列得：
2(S2n-Sn)=Sn+(S3n-S2n)
得: S3n=3(S2n-Sn)=36 故选 C
5. 解析: ∵
， ∴
∴故选B.
6. 解析: 由，
∴由的解依次成等差数列，
的解依次成等差数列，
,即a=2或3或4
故选D.
7. ∵
,∴当
时为有理项,又因为的展开式共有13项,所以从中任取一项为有理项的概率为,故选C
8. 【解析】
∵ 
=
“=”当且仅当
时成立。
故选C
9.利用检验法可得B正确
10.解析: ∵方程的两根分别为x1,x2,
∴可设:
∵
,
∴
,
∴
。故选C。
11.解析:方法一:由1
且
,记
,
则有: 
即的取值范围是;故选D.
方法二: 由1且
……(Ⅰ)
画出不等式组(Ⅰ)表示的可行域, 记,由图象可知:当直线b=ka过点A时,k取得最大值
, 当直线b=ka过点B时,k取得最小值0, ∴的取值范围是;
二、填空题
12. ；
解析:以OA、OB为平行四边形的的边，
作平行四边形OADC，则
∵ 
∴
∴
∴
∴
13. 1024；
解析：方法1：由，两边同时求导得： 
，令x=0得：
；
方法2：
，∴
14．因数列为等比，则
，因数列也是等比数列,则
即，
，所以
。
15．
；
解析：由
得：
,则
三、解答题
16． 解：
……2分
（1）
……4分
a<0时，
……6分
a=0时
显然不符合条件。
∴时， a的取值范围是
……8分
（2）要满足
时成立
∵此时B
故所求的a值为3。 ………12分
17．解析：（1）因为图像关于直线对称，
所以, 
, ……2分
即
，所以
，
Z，
解得
，Z，
又因为
，故取
。……4分
（2）由（1）
，
由
，
Z……6分
故f(x)单调减区间为
，Z
（注：写成
，Z也可）……8分
（3）因为对于连续函数的图像上任意两点A、B，在图象上总存在一点P，使得过点P的切线斜率等于直线AB的斜率，因此，我们只需求出过的图像上任意一点切线的斜率的取值范围。
由 
，
得：
，……10分
∴ 
即曲线切线的斜率的取值范围是[-2，2]
∴直线AB的斜率的取值范围[-2，2] ……12分
18．解：（1）∵，
∴
在上恒成立……（2分）
∴
∵
，∴
∴
即a的取值范围为
……（4分）
（2）由
∵当
时，
当
时，
，
当
时，……（7分）
∴
，
……（9分）
（3）∵有三个不同的实根，
∴
，
……（12分）
∴
∴a的取值范围为（3，4）……（14分）
19．解：（1）由题意可知：AB=CD=x，BC=2-2x，上底AD=2-2x+2xcosθ，高DH=xsinθ，
∴
即
，（
）……4分
（2）由（1）知：
=
∴
……8分
（3）方法1: 由
,
构造点:
,A(2,0),则为PA的斜率的相反数,由于点P在单位圆上,由几何知识得: 
时,取得最大值
……12分
又因为当时，
∴当时, 取得最大值，此时
。……14分
方法2:记
（其中
，
）
由
得：
，
，
。∴
∴
，
“=”当且仅当，时成立，
∴当时, 取得最大值，此时。……14分
其它方法酌情给分
20．解析：
(1) 因为三枚骰子出现的数字均为2时其积最大，而每枚骰子出现数字2的概率均为
，∴
……3分
（2）∵每枚骰子出现数字0、1、2的概率均分别为、、，
∴数字0、1、2各出现一次的概率为
……7分
（3）设三枚骰子出现的数字之积为ξ，则ξ=0、1、2、4、8
∵
∴三枚骰子出现的数字之积的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 4 | 8 |
| P |
|
|
|
|
|
……11分
数学期望为： 
……13分
注：求
，利用
较为方便。
21．解：
（1）
……（2分）
……（4分）
（2）如果我们在含有n区域的摇奖盘中的某一区域内再插入一个区域（如图3所示），则共有n+2个区域，而此时插入的这个区域有2种涂色方法，故此时n+2个区域共有2种涂色方法；
如果我们在含有n+1区域的摇奖盘中的某两个相邻的交界线上再插入一个区域（如图4所示），则共有n+2个区域，而此时插入的这个区域只有1种涂色方法，故此时n+2个区域共有种涂色方法；所以：
……（7分）
∴（）是以2为公比的等比数列……（8分）
（3）由（3）可知
令
，则有
……（10分）
……（12分）
又∵
∴
，
∴
，即
（）……（14分）
注: 由,得出数列
是以
为公比的等比数列,得出
,扣2分
其它方法酌情给分