高三年级数学第四次调查测试
|
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡的指定位置。
1．已知集合
，
，则集合
的真子集个数为 （ ）
A 32个 B 31个 C 64个 D 63个
2．已知条件p：
内是增函数，条件q：
，则p是q成立的（ ）
A 充要条件 B 充分不必要条件
C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件
3．若把函数
的图象沿向量
平移，使所得的图象关于
轴对称，则
的最小值是
（ ）
A 
B 
C 
D 
4．下列命题正确的是 （ ）
A 垂直于同一平面的两个平面互相平行
B
经过平面
的一条斜线的平面
与平面一定不垂直
C 若a，b是异面直线，则过直线a一定不能作与直线b垂直的平面
D
若平面，相交但不垂直，则平面内任意一条直线都与平面不垂直
5．已知等差数列
的前项和为
，且
，则
（ ）
A 
B 
C 
D 
6．已知二项式（
的展开式中含有
的项， 则n的一个可能值是
( )
A 6 B 9 C 8 D 10
7．已知变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为( )
A 
B 
C 
D 
8．已知二面角
的平面角为
,
，
，
为垂足，设
，
，
到棱
的距离分别为
、，当变化时，点
的轨迹是
( )
 |
A B C D
9．已知函数
，正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满足
，若实数d 是方程
的一个解，那么下列四个判断：①
；②
；③
；④
中有可能成立的个数为
( )
A 1 B 2 C 3 D 4
10．已知实数
，其中
，且
，则实数对
表示平面上不同点的个数为 ( )
A 
个
B 
个
C 
个
D 
个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题卡的指定位置.
11．将一组样本数据中的每一个数据都乘以2，再都减去80，得到一组新的样本数据. 若求得新的样本数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原样本数据的平均数为 ▲ ，方差为 ▲ 。
12．已知函数
在区间
内存在极值，则实数
的取值范围为 ▲ 。
13．已知平面内的向量
、
满足：==1， 与的夹角为
，又
=x+y，
，
，则点的集合所表示的图形面积为 ▲ 。
14．已知椭圆
上的点
与
（i=1,2,3）关于x轴对称，且
为该椭圆的一个焦点，则
▲ 。
15．如图为类似课本研究性学习课题《杨辉三角》中的竖直平面内一些通道，
图中粗线条均表示通道，一钢珠从入口处自上而下沿通道自由落入乙处
的概率是 ▲ 。 （第15题图）
16．已知直线
相切，其中m、
，试写出所有满足条件的有序实数对(m，n)： ▲
。
三、解答题：本大题共5小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。请将解题过程写在答题卡指定的方框内。
17．（本小题满分12分）
已知△ABC的面积为
，且满足
。
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值。
18．（本小题满分14分）
已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，为椭圆上的任意一点，满足
的最小值为
，过
作垂直于椭圆长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过的直线交椭圆于
两点，求
的取值范围．
19．(本小题满分14分)
如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。
|
（Ⅱ）求异面直线EG与BD所成的角；
（Ⅲ）在线段CD上是否存在一点Q，使得A点到平面EFQ的距离为0.8，若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由。
20．(本小题满分14分)
已知
，函数
（Ⅰ）当t=1时，求函数
在区间[0，2]的最值；
（Ⅱ）若
在区间[－2，2]上是单调函数，求t的取值范围；
（Ⅲ））是否存在常数t，使得任意
恒成立，若存在，请求出t，若不存在请说明理由.
21． (本小题满分16分)
设集合
是满足下列两个条件的无穷数列
的集合：
①
②
是与无关的常数.
（Ⅰ）若是等差数列，
是其前n项的和，
，证明：
；
（Ⅱ）设数列
的通项为
，求的取值范围；
（Ⅲ））设数列
的各项均为正整数，且
，试证
。
命题：周志国 冯建国
审校：冯建国 刘兴东 刘其鹿
高三年级数学第四次调查测试
数学试题参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答所给分数的一半；如果后续部分的解答存在较严重的错误，则不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、每题只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | B | C | C | D | A | A | B | C | B | D |
二、填空题：
11．40.6,1.1 12．
13．
14．30 15． 
16．（1，1），（2，2），（3，4），（4，8）
三、解答题：
17．（Ⅰ）
， ①
…………………2分
又
， ∴
②
……………… 4分
由①、②得
…………………………………………………………… 6分
（Ⅱ）
……………………………………… 8分
…………………………………………………………………… 10分
…………………………………………………………………………12分
18．（Ⅰ）设点
，则
，
，
，又
，
，∴椭圆的方程为：
…………………………………………7分
（Ⅱ）当过直线
的斜率不存在时，点
，则
；
当过直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为
，
设
，由
得：
…………………………………………10分
……13分
综合以上情形，得：
……………………………………………………14分
|
∴GH∥AD∥EF，∴E，F，G，H四点共面. ……………………1分
又H为AB中点，∴EH∥PB. 又EH
面EFG，PB
平面EFG，
∴PB∥平面EFG. ………………………………4分
（Ⅱ）取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM//BD，
∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角.……6分
在Rt△MAE中， 
，
同理
，又GM=
，………………7分
∴在△MGE中，
………………8分
故异面直线EG与BD所成的角为arccos
，
………………………………9分
|
又AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB. ……………………………………10分
又∵E，F分别是PA，PD中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB.
又EF面EFQ，∴面EFQ⊥面PAB. ………………………………11分
过A作AT⊥ER于T，则AT⊥平面EFQ，
∴AT就是点A到平面EFQ的距离. ………………………………12分
设
，则
在
，
…………………………13分
解得
故存在点Q，当CQ=
时，点A到平面EFQ的距离为0.8. ……………………… 14分
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
|
（Ⅰ）
…………1分
设
， 即
，
……………3分
，∴PB∥平面EFG. ………………………………………………………… 4分
（Ⅱ）∵
,
…………………………………………5分
，
……………………… 8分
故异面直线EG与BD所成的角为arcos.
……………………………………
9分
（Ⅲ）假设线段CD上存在一点Q满足题设条件，令
∴点Q的坐标为（2－m，2，0），
……………………………………10分
而
， 设平面EFQ的法向量为
，则
令
，
……………………………………………………12分
又
， ∴点A到平面EFQ的距离
，……13分
即
，
不合题意，舍去.
故存在点Q，当CQ=时，点A到平面EFQ的距离为0.8.
……………………14分
20． (Ⅰ)
，
………………2分
当
时，
， …………4分
（Ⅱ）
是单调增函数； ………………6分
由
是单调减函数；
………………8分
（Ⅲ）
是偶函数，对任意
都有
成立
对任意都有成立
1°由（Ⅱ）知当
或
时，是定义域上的单调函数，
对任意都有成立
时，对任意都有成立
…………10分
2°当
时，
，由
上是单调增函数
在上是单调减函数，∴对任意都有
时，对任意都有成立
………………12分
综上可知，当
时，对任意都有成立
.……14分
21、（Ⅰ）设等差数列{
}的公差是
，则
，解得
所以
……………………………………2分
由
=－1＜0
得
适合条件①；又
，所以当=4或5时，取得最大值20，即≤20，适合条件②。综上所述， 
…………………………………………4分
（Ⅱ）因为
，所以当n≥3时，
，此时数列
单调递减；当=1，2时，
，即
因此数列中的最大项是
，所以≥7………………………………………………………8分
（Ⅲ）假设存在正整数，使得
成立，
由数列
的各项均为正整数，可得
……………10分
因为
……11分
由
…13分
因为
依次类推，可得
……………………………………………15分
又存在，使
，总有
，故有
，这与数列（
）的各项均为正整数矛盾！
所以假设不成立，即对于任意
,都有
成立.
………………………16分