数 学 试 题（理）
命题人：黄冈中学 李新潮 审题人：黄冈中学 王宪生 校对人：黄冈中学 李新潮
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若
，则m的取值范围是
A．
B．
C．
D．
2．在下列函数中，图象关于直线
对称的是
A．
B．
C．
D．
3．在等差数列
中，
，
，则数列的前9项之和
等于
A．66 B．99 C．144 D．297
4．若
，
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
5．对任意实数x，不等式
恒成立的充要条件是
A．
B．
C．
D．
6．设椭圆
的左、右焦点分别是
、
，线段
被点
分成
5︰3的两段，则此椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
7．有一个正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记3的对面的数字为m，4的对面的数字为n，那么
的值为
A．3 B．7 C．8 D．11
 |
8．若
、
是两个不重合的平面，给定以下条件：①、都垂直于平面
；②内不共线的三点到的距离相等；③
、
是内的两条直线，且l∥，m∥；④l、m是两条异面直线，且l∥、l∥、m∥、m∥．其中可以判定∥的是
A．①② B．②③ C．②④ D．④
9．已知平面向量
，
，若
，
，
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
10．在三棱锥A－BCD内部有任意三点不共线、任意四点不共面的2007个点，加上A、B、C、D四个顶点，共有2011个点，把这2011个点连线，将三棱锥A－BCD分割成互不重叠的小三棱锥，则小三棱锥的个数为
A．6022 B．6020 C．6018 D．6015
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．
11．若
是奇函数，
是偶函数，且
，则
．
12．在△ABC中，
,
，△ABC的周长为
，则x的值为
．
13．已知点
在圆
上运动，当角变化时，点运动区域的面积为 ．
14．在三棱锥
中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为
、
、
，则三棱锥外接球的体积为 ．
15．已知方程
的两根为
、
，且
，则
的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数
的图象经过点
、
，且当
时，的最大值为
．
（1）求的解析式；
（2）是否存在向量m，使得将的图象按照向量m平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，请求出满足条件的一个m；若不存在，请说明理由．
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边的边长分别为a、b、c，且
成等比数列．
（1）求角B的取值范围；
（2）若关于角B的不等式
恒成立，求m的取值范围．
18．（本小题满分12分）
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D为侧面ABB1A1的中心，E为BC的中点．
（1）求证：平面DB1E⊥平面BCC1B1；
（2）求异面直线A1B与B1E所成的角；
（3）求点C1到平面DB1E的距离．
19．（本小题满分12分）
已知双曲线
的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，
，
．
（1）求双曲线的方程；
（2）设Q是双曲线上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若
，求直线l的斜率．
20．（本小题满分13分）
已知二次函数
，
为偶函数，函数的图象与直线
相切．
（1）求的解析式；
（2）若函数
在
上是单调减函数，那么：
①求k的取值范围；
②是否存在区间
（
），使得在区间上的值域恰好为
？若存在，请求出区间；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知数列满足
，且
．
（1）求证：
；
（2）若
，且
，求无穷数列
所有项的和；
（3）对于
，且
，求证：
．
数学（理）参考答案
1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．D 7．C 8．D 9．B 10． A 11．
12．
13．
14．
15．
16．（1）由
得
即
．
．
当时，
，
．
当
，即
时，
，得
；
当
，即
时，
，无解；
当
，即
时，
，相互矛盾．
故
．（8分）
（2）∵
是奇函数，且将的图象先向右平移
个单位，再向上平移1个单位，可以得到的图象，∴
是满足条件的一个平移向量．（12分）
17．（1）∵
，∴
，当且仅当
时，
，∴
．（5分）
（2）
．
∵
，∴
．
∵不等式恒成立，∴
，得
．
故m的取值范围为
．（12分）
18．（1）连结AE．∵AB＝AC，且E为BC的中点，∴AE⊥BC．∵BB1⊥平面ABC,∴AE⊥BB1，∴AE⊥平面BCC1B1，∴平面DB1E⊥平面BCC1B1．（3分）
（2）延长AB至F，使AB＝BF，连结B1F、EF．在△EBF中，
．
，
．在△EB1F中，
，∴∠EB1F＝
．
∵B1F∥A1B，∴∠EB1F即为异面直线A1B与B1E所成的角．
故异面直线A1B与B1E所成的角为．（8分）
（3）作C1H⊥B1E于H．∵平面DB1E⊥平面BCC1B1，∴C1H⊥平面DB1E，∴C1H的长即为点C1到平面DB1E的距离．∵△B1 H C1∽△B1BE，∴
，
∴
．故点C1到平面DB1E的距离为
．（12分）
19．（1）由条件知
，
，
，∴
，代入
中得
，∴
，
．故双曲线的方程为
．（6分）
（2）∵点F的坐标为
，∴可设直线l的方程为
，令
，得
，即
．设
，则由得
，即
，即
∵
，∴
，得
，
．
故直线l的斜率为
．（12分）
20．（1）∵为偶函数，∴
，即
恒成立，即
恒成立，
∴
，∴
，∴
．∵函数的图象与直线相切，∴二次方程
有两相等实数根，∴
，∴
，
．（4分）
（2）①∵
，∴
．∵在上是单调减函数，∴
在上恒成立，∴
，得
．故k的取值范围为
．（8分）
②∵
，∴
，∴
，又∵，∴
，∴
，∴在上是单调增函数，∴
即
即
∵，且，故：当
时，
；当
时，
；当
时，不存在．（13分）
21．（1）运用数学归纳法证明如下：
①当
时，∵，∴成立．
②假设当
（
）时，成立，即
．
当
时，
．∵，∴
，∴
，∴
，∴
，即
．这就是说，当时，也成立．
根据①、②知，对任意，不等式恒成立．（5分）
（2）∵
，且，∴
，即
，即
，∴
是以
为首项，以2为公比的等比数列，∴
，∴
，无穷数列所有项的和为
．（10分）
（3）∵
，∴
．
∵，∴
，∴
，∴
，∴数列是递增数列，∴对于任意，且，均有
，即
．
∵
，∴
．
综上，有：
，
，…，，．各式相加，得
．（14分）