高三年级数学4月模拟考试
数学试题（理科）
命题人：吴校红
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
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A．A∪B B．A∩B C． D．
2．设
均为第二象限角，且
，则下列不等式成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．等差数列
的公差d不为零，Sn是其前n项和，则下列四个命题中的假命题是（ ）
A．若d<0，且S3=S8，则{Sn}中，S5和S6都是{Sn}中的最大项
B．给定n，对于一定
，都有
C．若d>0，则{Sn}中一定有最小的项
D．存在
，使
同号
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，
且P在线段AB的垂直平分线上，向量
。若a=3，
b=2，则c·（a－b）的值为 （ ）
A．5 B．3
C．
D．
5．已知直线m⊥平面
，直线n
平面
，则下列命题正确的是 （ ）
A．若
B．若
C．若
D．若
6．已知点M（a，b）在由不等式组
所在平面区域的面积是 （ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
7．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有1个白球”与“都是白球”
B．“至少有1个白球”与“至少有1个红球”
C．“恰有1个白球”与“恰有2个白球”
D．“至少有1个白球”与“都是红球”
8．若
，其中
，且
，则实数（x，y）表示坐标平面上不同点的个数为 （ ）
A．50 B．70 C．90 D．120
9．已知直线
某学生作了如下变形：由
消去y后得到形如
的方程，当A=0时，该方程有一解；当A≠0时，
恒成立.假设学生的演算过程是正确的，则实数m的取值范围为 （ ）
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B．
C．
D．
10．对于函数
，令集合
，则集合M为 （ ）
A．空集 B．实数集 C．单元素集 D．二元素集
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置上。）
11．若
的展开式中的第五项是
，则
=
.
12．已知i是虚数单位，且函数
在R上连续，则实数a等于
13．过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若
，则椭圆的离心率e=
。
14．将棱长为3的正四面体以各顶点截去四个棱长为1的小正四面体（使截面平行于底面），所得几何体的表面积为 。
15．已知函数
时，
只有一个实根；当k∈（0，4）时，只有3个相异实根，现给出下列4个命题：
①
有一个相同的实根；
②
；有一个相同的实根；
③
的任一实根；
④
的任一实根.
其中正确命题的序号是 。
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
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已知函数
（1）求函数
的定义域；
（2）若是两个膜长为2的向量a，b的夹角，且不等式
对于定义域内的任意实数x恒成立，求a+b的取值范围.
17．（本小题满分12分）
一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。
（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.
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18．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}，{Bn}，{Cn}，其中
，满足向量
与向量
共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的直线上
（1）试用a与n表示
；
（2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。
19．（本小题满分12分）
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（1）求证：点P，A，B，C四点在同一球面上；
（2）求二面角A—MB—C的大小；
（3）求过P、A、B、C四点的球面中，A、B两点的球面距离。
20．（本小题满分13分）
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。其中A1，A2，B是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距。
（1）当c=1时，求双曲线E的方程；
（2）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数。
（3）连接A1C与双曲线E交于F，是否存在实数
恒成立，若存在，试求出
的值；
|
21．（本小题满分14分）
设函数
处的切线的斜率分别为0，－a.
（1）求证：
；
（2）若函数f（x）的递增区间为[s，t]，求s－t的取值范围.
（3）若当x≥k时，（k是a，b，c无关的常数），恒有
，试求k的最小值.
高三年级数学4月模拟考试
数学试题（文科）参考答案
一、选择题
1．D 2．C 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．C 9．B 10．A
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2．利用三角函数可知
。故选C.
3．对于A 
为最大，故A正确.
对于C，∵d＞0，∴点（n，Sn）分布在开口向上的抛物线.故{Sn}中一定有最小的项，故C 正确.
4．设AB垂直平分线交AB于M，
5．
故选A.
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所以线性约束条件转化为：
如图求得阴影部分的面积为：S=4
7．对于A，B，两事件不是互斥事件，对于D，两事件既是互斥的，也是对立的，故选C.
8．∵x，y均为三位数，且x+y=636，将和分为两类，一类是没有进位的，如123+513，一类是有进位的，如163+473；没有进位时，由于6=1+5=2+4=3+3，3=1+2
∴（x，y）共有5×2×5=50个；有进位时，个位不可能进位，只能十位进百位，故十位只能为7和6，从而百位只能为1和4与2和3，∴（x，y）共有4×2×5=40个，故总共有50+40=90个不同点.
9．由已知可推得直线与双曲线恒有公共点，
而直线过定点（3，0）
10．
是以4为周期.
∴集合M为空集.
二、填空题
11．1 12．4 13．
14．
15．①②④
提示：
11．
12．
又
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，
注意到直线AB的倾斜角为60°
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，每截去一个小正四面体，
表面减少三个小正三角形，增加一个正三角形，故表面积减少
，故所得几何体的表面积为.
15．由k＜0或k＞4时，只有一个实数根可知，在k＜0或k＞4时，函数y=f（x）与y=k的图象只有一个交点；0＜k＜4时，函数y=f（x）与y=k的图象有三个交 点；故函数的极值点有两个，极值分别为0和4，
|
有两根x1，x2，
且
所以x1是 的根，x2是的根，所以①，②对；将y=f（x）的图象向下平移1个单位得y=f（x）－1的图象，向上平移3个单位得y=f（x）+3的图象，由图象知③错；将y=f（x）的图象向上平移5个单位得y=f（x）+5的图象，将y=f（x）的图象向下平移2个单位得y=f（x）－2的图象，由图象知④对.
三、解答题
16．（1）若原函数有意义，则
故
（2）因为
故函数f（x）的最大值为
恒成立，只需
故
故
17．解法一 “有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件A，
∵“两球恰好颜色不同”共2×4+4×2=16种可能，
解法二 “有放回摸取”可看作独立重复实验
∵每次摸出一球得白球的概率为
∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为
（2）设摸得白球的个数为
，依题意得
18．（1）
又∵{Bn}在方向向量为（1，6）的直线上，
（2）∵二次函数
是开口向上，对称轴为
的抛物线
又因为在a6与a7两项中至少有一项是数列{an}的最小项，
∴对称轴
19．（1）证明：由已知条件Rt△PAC中PM=MC，则MP=MC=MA
则MC=MB=MP，所以MP=MC=MA=MB，即P，A，B，C四点都在以M为球心，半径为PM的球面上，
（2）以AC为y轴，AP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，
则B（
设平面AMB的法向量为
由
同理设平面BMC的法向量为
所以
故二面角A—MB—C的大小为120°.
（3）∵过P，A，B，C四点的球面的球心为M，半径为
在
故A、B两点的球面距离为
.
20．（1）由c=1知B（0，1），∵， ∴
即
点C在单位圆上，∴
设双曲线E的方程为 
由点C的双曲线E上，半焦距c=1有：
所以双曲线E的方程为：
（2）证明：∵A1（－c，0），B（0，c），由 
设双曲线E的方程为 
∴ 
①代入②，化简整理得
解得
又
∴
，即双曲线E的离心离是与c无关的常数。
（3）假设存在实数
有
点F
点C，F都在双曲线E上，故有
由③得
⑤
⑤代入④得
即
故存在实数
恒成立.
21．（1）
由题意及导数的几何意义得
①
②
又
由①得
③
将c=－a－2b代入②得
有实根，
故判别式
④
由③、④得
（2）由
知方程
有两个不等实根，设为x1，x2，
又由
（*）的一个实根，
则由根与系数的关系得
当x＜x2，或x＞x1时，
故函数f（x）的递增区间为[x2，x1]，由题设知[x2，x1]=[s，t]，
因此
（3）由
因此a＜0，得
设
的一次函数，由题意，
恒成立故
由题意