高三年级数学上学期期末考试
数学（理）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合
则(
)
(
)=（ ）
A．
B．{4} C．{1,3,5} D．{1,2,3,5}
2．定义
，则
（ ）
A．
B．0 C．
D．
3．给出下列三个命题:
①正四棱柱一定是直平行六面体；
②四面体
中,若点
在面
上的射影是
的垂心,则点
在面
上的射影也是
的垂心；
③经过球面上不同两点的球的小圆可能不存在.
其中假命题的个数为 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．
（ ）
A．1 B．－1 C．1或－1 D．无法确定
5．
，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．某天下午的课程表要排入物理、化学、生物和两节自习共5节课，如果第1节不
排生物，最后1节不排物理，那么不同的排课表的方法有 （ ）
A．36种 B．39 种 C．60种 D．78种
7．已知实系数一元二次方程
的两个实根为
、
,并且
,则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．过抛物线
准线上任一点作抛物线的切线，切点分别为A、B,则直线AB恒过点
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，
是表面积为
的球面上的点，且
，
，
，
为球心，则直线
与截面
所成角的大小是 （ ）
| |
B．arccos
C．arccos
D．arccos
10．已知函数
，
是定义在R上的奇函数，且当
时，=
则方程
不相等的实数根的个数是
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
11．已知
，且函数
在
，
上存在反函数，则 （ ）
A．
B．
C．∪
D．
12．已知周期数列
满足
，若
，则当该数列的周期最小时，数列的前2008项的和是
（ ）
A．1338 B．1339 C．1340 D．1341
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题纸上.
13．在
的展开式中，含
项的系数为_________.
14．若将形如
的函数称为线性分式函数,则图象关于直线
对称的一个线性分式函数的解析式可以为_________.（写出你认为正确的一个解析式即可）
15．若随机从集合
中选出两个不同的元素
，则
为整数的概率为_________.
16．已知点
是双曲线
上一动点,
是双曲线的两个焦点，
是坐标原点,则
取值范围是_________ .
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
如图，棱长为1的正方体
中，点
分别为棱
、
、
的中点.
（1）求二面角
的正切值;
（2）求点到平面
的距离.
| |
18．（本小题满分12分）
设函数
,
（1）求函数
的最小正周期及单调递增区间;
（2）当
时，函数
的最小值为1，求此时的最大值及相应
值.
19．（本小题满分12分）
某轮船公司争取到一个相距
海里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船的平均载客人数为
人，轮船每小时使用的燃料费和轮船航行速度的关系为
，轮船的最大速度为
海里/小时，其余费用（不论速度如何）总计是每小时
元.假定轮船从甲地到乙地匀速航行，若公司打算从每位乘客身上获得利润
元，试为该轮船公司设计一个较为合理的船票价格．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的方程为 
, 过其左焦点
斜率为1的直线交椭圆于
两点.
（1）若
与
共线，求椭圆的方程;
（2）若在左准线上存在点
, 使
为正三角形, 求椭圆的离心率
.
21．（本小题满分12分）
（1）
（2）
22．（本小题满分14分）
已知函数
，
，
（1）证明：当
时，恒有
（2）当时，不等式
恒成立，求实数k的取值范围;
（3）在轴正半轴上有一动点
，过
作轴的垂线依次交函数
的图象于点
，为坐标原点.试将
与
的面积比表示为的函数
，并判断是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由.
参 考 答 案
一、选择题
1．D；2．C；3．A；4．B；5．D ； 6．B；
7．C；8．A；9．D；10．B ； 11．C； 12．B.
二、填空题：
13．164 14．
(答案不唯一) 15．
16．
三、解答题：
17．（1）解：连结
，交
于
，连结
//
（2）连结
.
由（1）知
……6分
18．解：
=
=
……4分
（1）的最小正周期
，
由
得
，
故的单调递增区间为
……8分
（2）
，当
时，原函数最小值为1，即
，
，当
时，的最大值为
.……12分
19．解：设从甲地到乙地的人均总费用为
，则
，
即 
， ……3分
由
得
当
时，
此时
单调递减，
因此当
，最小为（
＋
）元.
所以较为合理的船票价格为（＋
）元.……7分
当
时，
此时
因此当
＝
时，最小为
元.
所以较为合理的船票价格为（＋１０）元.……11分
综上，当时，较为合理的船票价格为（＋）元;
当时，较为合理的船票价格为（＋１０）元.……12分
20．解：（1）将直线PQ的方程为
化简得
.
令
则 
由
，与共线，得
∴
∴
，即
，∴
……4分
又
所以椭圆的方程为
.
……6分
（2）如图, 设线段
的中点为 
．
过点 
、、 分别作准线的垂线,
垂足分别为 
、
、
, 则
．
又
，
，所以
.
……12分
21．解:
22．解：（1）设
，则
=
，……2分
当时，
，所以函数
在（0，
单调递增，又
在
处连续，所以
，即
，
所以
。……4分
（2）设
，
则
在（0，恒大于0，
，
，……6分
的根为0和
即在区间（0，上，
的根为0和
若
，则在
单调递减，
且
，与在（0， 恒大于0矛盾；
若
，在（0，单调递增，
且，满足题设条件，所以，所以
……9分
（3）
其分母为正数，其分子为：
……12分
由第（2）问知：
在
恒成立，
所以
在恒成立，即在为单调递增函数，
故而无极值.……14分