南县一中高三文科数学调研考试试卷
命题人：王正飞 2007.4.20
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 已知集合M=
,集合N=
,那么当y=0时有（ ）
A.M=N={2,-2} B.M ={2,-2},N={(2,0),(-2 ,0)}
C.M=N={(2,-2)} D. M ={2,-2},N={(2,-2)}
2. 函数
的值域为( )
A 
B
C (-1,1)
D 
3.已知角
的终边过P(-6a,-8a)(
)，则
的值为（ ）
A.
B. 
C.或
D. 或
5.直线y+mx+m+1=0与圆x2+y2=2的位置关系为（ ）
A．相离 B.相切 C.相交 D. 相交或相切
6. 以下命题中正确的是（ ）
A. 
恒成立；
B. △ABC中，若
，则△ABC是等腰三角形;
C.对等差数列{an}前n项和Sn,若对任意正整数n都有Sn+1>Sn,则an+1>an对任意正整数n恒成立；
D.a=3是直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的充要条件;
7.已知
的展开式中，
的系数为56，则实数a的值为( )
A.5或6 B.-1或4 C.6或-1 D.4或5
8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(
,直线y=x-1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是（ ）
A.
B. 
C.
D.
9.如图所示，在正三棱锥
中，M、N分别是SC、BC的中点，且
，若侧棱
，则正三棱锥外接球的表面积是
A. 
B. 
C. 
D. 
10. 设函数f(x)的定义域为R，若存在与x无关的正常数M，使
对一切实数x均成立，则称f(x)为“有界泛函”，给出以下函数：①f(x) =x2，②f(x)=2x，③
④
其中是“有界泛函”的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二.填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 某校共有2400名学生，其中男生1300名，女生1100名，用分层抽样法抽取一个容量为120的样本，则女生被抽取的人数为_________;
12. 平面直角坐标系中有五个点，分别为O（0，0）、A（1，2）、B（2，4）、C（－1，2）、D（－4，4），则这五个点一共可确定不同（顶点不全相同）的三角形个数为
13.等比数列
是递增数列，其前n项的积为Tn，若T13 =4T9，则a8•a15=
________;
14. 曲线
上的点P到A(1,1)的最小距离为________ ;
15加工火腿肠的主要原料是精肉和面粉.若A、B两种火腿肠的精肉和面粉的搭配如下表，且A、B的价格分别为0.6元/支、0.8元/支.现有精肉2吨，面粉2.5吨，用以加工A、B两种火腿肠。假设产品供不应求，那么可以获得的最大销售额为 .
| 原料 产品 | 精肉（千克） | 面粉（千克） |
| A（千支） | 20 | 30 |
| B（千支） | 30 | 20 |
三.解答题：(共75分)
16.（本小题满分12分）
已知向量
（Ⅰ）求函数
的最小正周期；
（Ⅱ）若
的取值范围.
17. ( 本小题满分12分)
在2004年雅典奥运会上，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜制”进行决赛，根据以往战况，中国女排在每一局中赢的概率都是
，若比赛中，俄罗斯女排先胜了第一局。求：
（1） 中国女排在这种情况下取胜的概率；
（2） 设比赛局数为
，求P(=4).
18. (本小题满分12分)
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=3,AB=
,E、F 分别为AB和A1D的中点。
(1)求证：AF∥面A1EC；
(2)求A1C与底面ABCD所成角的正切值；
(3)求二面角A1-EC-D的正切值。
19.(本小题满分12分)
市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税.某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件.第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0<p<100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件
元，预计年销售量将减少p万件.
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p
应为多少？
20. (本小题满分13分)
在三角形ABC中,已知A(0,1), B(0,-1). AC、BC两边所在直线分别与x轴交于E、F,且
。
（1） 求点C的轨迹方程；
（2） 若
，①试确定点F的坐标；②设P是点C的轨迹上的动点，猜想△PBF的周长最大时点P的位置，并证明你的猜想。
21. （本小题14分）
已知数列
，
是其前
项的和，且
（≥2），
（I）求数列的通项公式；
（II）设
，
，是否存在最小的正整数
，使得对于任意的正整数n，有
恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由
南县一中高三文科数学调研考试试卷答案
1 B 2 D 3 D 4 A 5 D 6 D 7 C 8 B 9 C 10 C
11 55 12 9 13 2 14 2 15 58000元
16解：（Ⅰ）＝
·
＝
=
，则的最小正周期为
．……………6分
（Ⅱ）由·＜－１，得
．
又
，则
，即
．
故
的取值范围是（
）．……………12分
17
解：（1）中国女排可能以3：1取胜，也可能以3：2取胜.
中国女排若以3：1取胜，说明第2、3、4局都取胜，其概率为：
；(2分)
中国女排若以3：2取胜，说明第2、3、4局胜了两局，
其概率为：
(4分)
中国女排取胜的概率为：
(6分)
（2）比赛局数为4包括两种情况，一是中国女排以3：1取胜，另一种是俄罗斯女排以3：1取胜若中国女排以3：1取胜，说明第2、3、4局都取胜，其概率为：；(8分)
若俄罗斯女排以3：1取胜，则中国女排胜了第2、3局中的一局，俄罗斯女排胜了第4局，
其概率为：
,
(10分)
故P(=4)= 
(12分)
18
(1)在长方体AC1中，取AC1的中点O,连结OF、OE.
在△A1CD中，
F、O分别为A1D、A1C的中点。
FO∥DC,且FO=
DC。
FO∥AE. 又E为AB的中点, 且AB=DC, FO=AE.
四边形AEOF是平行四边形, AF∥OE.
又OE
平面A1EC, AF
平面A1EC, AF∥平面A1EC
( 4分)
(2) 连结AC, AA1⊥平面ABCD, ∠ACA1是A1C与平面ABCD所成的角。
在Rt△A1AC中，tan∠ACA1=
=
.
即A1C与平面ABCD所成的角的正切值为
. (8分)
（3）作AM⊥CE,交CE的延长线于M, 连结A1M, 易证A1M⊥CE.
∠A1MA是二面角A1—EC—D的平面角，
在△AME、△CBE中，易得AM=
，在△A1MA中，A1A=3，tan∠AMA1=
=
二面角A1—EC—D的正切值为. (12分)
19
（I）解：依题意，第二年该商品年销售量为（11.8－p）万件，
年销售收入为（11.8－p）万元，…………………………2分
政府对该商品征收的税收y=（11.8－p）p%（万元）
故所求函数为y=
(11.8－p)p……………………………………4分
由11.8－p>0及p>0得定义域为0<p<11.8…………………………5分
（II）解：由y≥16得(11.8－p)p≥16
化简得p2－12p+20≤0，即(p－2)(p－10) ≤0，解得2≤p≤10.………………7分
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元.……………………8分
（III）解：第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g(p)= (11.8－p)(2≤p≤10)
在[2，10]是减函数……10分
∴g(p)max=g(2)=800（万元）………………………………………………11分
故当税率为2%时，厂家销售金额最大.………………………………12分
20
（1）如图，设点C(x,y)(x
,E(xE,0), F(xF,0).
由A、B、E三点共线，
//
，
x(-1)-(y-1)xE=0, 解得
，
同理由B、C、F三点共线，
解得
，
(2分)
，
=4
化简得
( 4分)
（2）若，
①设F(xF,0) ，C(xC,yC)
由得
=
( 6分)
代入
得
， xF=
，
点F(,0)即为椭圆的焦点。 ( 8分)
②猜想：设F(
,则当点P位于直线BF1与椭圆C的交点处时，△PBF周长最大为8。
(9分)
证明如下：PF+PB=4-PF1+PB=4+(PB-PF1)
4+BF1,
△PBF的周长4+BF1+BF=8. (13分)
21
（I）由已知① 
②
②-①，得
（≥2）
2分
∴
，又，所以数列是一个以2为首项，8为公比的等比数列
∴
4分
（II）
5分
∴
∴
7分
∵
，∴≥1，即
∴
，
，即数列
是一个单调递减数列，又
∴
≤
，若恒成立，则
，即
13分
又是正整数，故最小正整数为4
14分