上海市进才中学2007届高三文科月考六数学试题
一、填空题（满分48分，每小题4分）
1．在直角坐标系中，直线
的倾斜角是
。
2．命题“若
成等比数列，则
”，它的逆命题、否命题、逆否命题中有 个真命题.
3．已知函数
的反函数为
，则
的解集为
。
4．已知向量
，若
三点共线，则
。
5．某工程的工序流程图如图，则该工程的总工时为
________(天)。
6．已知
满足不等式组
，则使
取得最大值的点的坐标为
。
7．在长方体
中，若
，则点
到平面
的距离为 。
8．已知函数
满足
，若
时，
，则
与
的图象交点的个数是 。
9．若定义运算
为：
，则函数
的值域为
。
10．若以连续掷两次骰子得到的点数
分别作为点
的横坐标与纵坐标，则点落在点集
且
内的概率为
。
11．若不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围是
。
12．对于定义在
上的函数，若同时满足：①
在内单调；②存在区间
，
使在区间
上值域为，则函数
称为闭函数。按照上述定义，
若函数
为闭函数，则符合条件②的区间可以是 。
二、选择题（满分16分，每小题4分）
13．给出下列正方体的侧面展开图，其中
分别是正方体的棱的中点，那么，在原正
方体中，
与
所在直线为异面直线的是
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
14．设直线
关于原点对称的直线为
，若与椭圆
的交点为
，
点为椭圆上的动点，则使
的面积为
的点的个数为
（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
15．如图，函数
的图象是
（ ）
（A） （B） （C） （D）
16．设
是从
这三个整数中取值的数列，若
，且
，则当中取零的个数为 （ ）
（A）10 （B）11 （C）15 （D）25
三、解答题（满分86分）
17．（本题满分12分）
已知
，且
，复数
，当
为何值时，
取得最大值，并求出该最大值。
18．（本题满分12分）
已知函数
（1）当
求函数满足
时的
的集合；
（2）求的取值范围，使在区间（0，+∞）上是单调减函数.
19．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
如图，在直三棱柱
中，
，
，
为的中点，
为
上的点，且
。
（1）求证：
平面
；
（2）求异面直线
与
所成角的大小。
20．（本题满分14分，第（1）题5分，第（2）题9分）
某种产品具有一定的时效性。由市场调查可知：在不作广告宣传且每件获利元的前提下可卖出
件；若作广告宣传，广告费为
千元时比广告费为
千元时多卖出
件。设作
千元广告时的销售量为
。
（1）试写出销售量与的函数关系式；
（2）当
时，厂家应生产多少这种产品，做几千元广告，才能获取最大利润？
21．（本题满分16分，第（1）题6分，第（2）题10分）
设双曲线C：
相交于两个不同的点A、B.
（1）求a的取值范围： （2）设直线l与y轴的交点为P，且
求a的值.
22．（本题满分18分，第（1）题6分，第（2）题6分，第（3）题6分）
已知
及
。
（1）求
的定义域及
的值；
（2）指出函数的单调性，并求函数的最小值；
（3）若
，是否存在满足下列条件的正数
，使得对于任意的正
数
，
都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出的取值范围；若不存在，请说明理由。
进才中学2007届高三文科月考六 数学试题
一、填空题（满分48分，每小题4分）
1．在直角坐标系中，直线的倾斜角是
。
2．命题“若成等比数列，则”，它的逆命题、否命题、逆否命题中有1个真命题.
3．已知函数的反函数为，则的解集为
. 
4．已知向量，若三点共线，则 2 。
5．某工程的工序流程图如图，则该工程的总工时为________(天).9
6．已知满足不等式组，则使取得最大值的点的坐标为 
.
7．在长方体中，若
，则点到平面的距离为
。
8．已知函数满足，若时，，则
与的图象交点的个数是 4 。
9．若定义运算为：，则函数的值域为
。
10．若以连续掷两次骰子得到的点数分别作为点的横坐标与纵坐标，则点落在点集
且内的概率为
。
11．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是
。
12．对于定义在上的函数，若同时满足：①在内单调；②存在区间，
使在区间上值域为，则函数称为闭函数。按照上述定义，
若函数为闭函数，则符合条件②的区间可以是
。
二、选择题（满分16分，每小题4分）
13．给出下列正方体的侧面展开图，其中分别是正方体的棱的中点，那么，在原正
方体中，与所在直线为异面直线的是
（ D ）
（A）
（B）
（C）
（D）
14．设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为，
点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为
（ B ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
15．如图，函数的图象是
（ C ）
（A） （B） （C） （D）
16．设是从这三个整数中取值的数列，若，且
，则当中取零的个数为 （ B ）
（A）10 （B）11 （C）15 （D）25
三、解答题（满分86分）
17．（本题满分12分）
已知，且，复数，当为何值时，取得最大值，并求出该最大值。
17．设
，且
。……………………………………………………………………（3分）
，………………………………………………………………………（6分）
。……………………………………………………（9分）
∴当
，即
时，
。……………………………………………………………………（12分）
或设
，
，………………………………（4分）
。………………………………………………………………（8分）
∴当
或
，即时，。………………………………………（12分）
18．（本题满分12分）
已知函数
（1）当求函数满足时的的集合；
（2）求的取值范围，使在区间（0，+∞）上是单调减函数.
18．（1）当
时，
,故满足条件的集合为
.
（2）在区间
上任取
，则
,
因
故
，又在上
,
,
∴只有当
时，即
时, 才总有
.
∴当
时, 
在上是单调减函数.
19．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
如图，在直三棱柱中，，，为的中点，
为上的点，且。
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小。
19．（1）依题意，
平面
。……………………………………（6分）
（2）以
为原点，射线
分别
轴的正方向建立空间直角坐标系，…………………（7分）
则
。
∴
，
。……………………………………………………………（10分）
设
与
所成的角为
，
，
。…………………（13分）
故异面直线
与
所成角的大小为
。………………………………………………（14分）
20．（本题满分14分，第（1）题5分，第（2）题9分）
某种产品具有一定的时效性。由市场调查可知：在不作广告宣传且每件获利元的前提下可卖出件；若作广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件。设作千元广告时的销售量为。
（1）试写出销售量与的函数关系式；
（2）当时，厂家应生产多少这种产品，做几千元广告，才能获取最大利润？
解：（1）
。
（2）
时，
，设获取的利润为
，则
，令
，
此时，
， ∴厂家应生产
件这种产品，做
千元的广告，才能获取最大利润。
21．（本题满分16分，第（1）题6分，第（2）题10分）
设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.
（1）求a的取值范围： （2）设直线l与y轴的交点为P，且 求a的值.
解：
（1）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解.
消去y并整理得 
①，
所以a的取值范围为：
（2）设
由于x1, x2都是方程①的根，且1－a2≠0，
.
22．（本题满分18分，第（1）题6分，第（2）题6分，第（3）题6分）
已知及。
（1）求的定义域及的值；
（2）指出函数的单调性，并求函数的最小值；
（3）若，是否存在满足下列条件的正数，使得对于任意的正
数，都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出的取值范围；若不存在，请说明理由。
22．（1）
的定义域均为
；……………………………………………………………………（3分）
。……………………………………………………………（3分）
（2）∵
，∴
。……………………………………………………（7分）
易知函数
与
在上均为增函数，∴
。（10分）
（3）∵
，…………………………………………………………………………（11分）
∴若能构成三角形，只需
恒成立。……（13分）
由（1）知，
，
∵
，∴
，即
。…………………………………………（15分）
由（2）知，，∴
。…………………………………………………………（17分）
综上，存在
，满足题设条件。……………………………………………………（18分）