惠州市2007届高三模拟考试
数学试题（文科卷）（2007.4）
本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 已知
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 设全集U=Z，集合M=
，P=
，则P
=（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4． 已知直线a、b、c和平面M，则a//b的一个充分条件是（ ）．
A．a//M ，b//M B． a
c ，bc
C．a、b与平面M成等角 D．aM ，bM．
5． 已知实数
满足约束条件
，则
的最大值为（ ）．
A．24 B．20 C．16 D．12
6．在数列{
}中，若
且对所有
, 满足
，则
( )
A．
B． 
C．
D．
7．下列算法中，含有条件分支结构的是（ ）
A．求两个数的积 B．求点到直线的距离
C．解一元二次不等式 D．已知梯形两底和高求面积
8．已知向量
,且
，则向量
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．函数
，则
的自变量
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．
为圆
内异于圆心的一点，则直线
与该圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相离
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
11．函数
的图象中相邻两条对称轴的距离为______________________________．
12．已知双曲线的方程为
，则它的离心率e ＝_______________________．
|
【选做题】从14、15题中选做1题，多做只计14题得分！！
14． 如图所示，在△ABC中，AD是高线，
是中线，
DC=BE, DGCE于G, EC的长为8，
则EG=__________________．
15直线
(t为参数)上到点A（1，2）的
距离为4
的点的坐标为_____________________________．
三．解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
16．(本小题满分12分)
在
中，角
所对的边分别为
，且
．
（1）求角
的大小；
（2）若
，判断△ABC的形状．
17．(本小题满分12分)
已知等差数列{}，
．
(1)．求
的通项公式；
(2)．令
，求数列的前项和．
18．(本小题满分14分)
甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2 红桃3 红桃4 方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
（1）．设
分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况．
（2）．若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）．甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．
19．(本小题满分14分)
如图ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面 ABCD，E是PC的中点．
求证：（1）．PA//平面BDE；
（2）．平面PAC平面BDE．
20．(本小题满分14分)
已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过
，
两点。
（1）．求椭圆的离心率；
(2)．在椭圆上是否存在点
到定点
(其中
)的距离的最小值为1，若存在，求出
的值及点
的坐标；若不存在，请给予证明．
21．(本小题满分14分)
设
是定义在R上的奇函数，
与的图像关于直线
对称，若
．
⑴．求的解析式；
⑵．当x=1时，取得极值，证明：对任意
，不等式
恒成立；
⑶．若是[1，+
）上的单调函数，且当
，
时，有
，
求证：
．
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数学试题（文科卷）（2007.4）答案
一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．D本题主要考察互为共轭复数的概念及复数的乘法运算．
Z=1+
，
，
，故选 D．
2．C
本题主要考察含绝对值不等式的解法及集合间的运算交与补．集合P=
，M=，
＝
，
P
＝
．故选C．
3．D
本题主要考察的是古典概型，一枚硬币连掷2次可能出现正正，反反，正反，反正四种情况，而只有一次出现正面的有两种， P＝
＝ 故选D．
4．C 本题主要考察立体几种线线，线面的位置关系．A是a//b的充分条件B是a//b的充分必要条件，C是a//b的充分条件．D是a//b的必要不充分条件．故选C
5．B 本题主要考察的是简单的线性规划问题．目标函数在点（2，4）处取得最大值20故选B
6．B
本题主要考察数列由递推公式求通项或代入法求值．
，
，
，故选B．此题也可求
，
，
，
．
7．C 本题主要考察的是算法中条件分支问题，A、B、D不含条件分支，解一元二次不等式要用到条件分支故选C．
8．B 本题主要考察向量的数量积及三角函数和值求角．由
＝
cos
=
，
故
，选B．
9．D 本题主要考察分式，绝对值不等式的解法．
或
或
或
或
选D．
10．A
本题主要考察点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系．点M在圆内故
，圆心到直线的距离
．故直线与圆相离．选A．
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
11．
本题主要考察正弦函数图像，相邻对称轴间的距离为半个周期，故此题关键是求函数的周期．T＝
=
．
12．
，
． 此题考察的是双曲线的基本概念．由于此题没有说明焦点的位置，因此要分类讨论．当焦点在轴时
；当焦点在
轴时 
．
13．[0，1] 此题考察导数的应用以及解一元二次不等式．
．
14．4
考查直角三角形中的中线的性质及等腰三角形底边中线的性质．连接DE，则DE=AB=BE=DC．
∴DG平分EC，故EG=4．
15．（-3，6）或（5，-2）考查的是直线的参数方程问题．点为直线上的点
，解得
或
，
故P（-3，6）或（5，-2）．
三．解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
16．（本小题满分12分）
解．（1）由已知得．
，
…………………………………… (3分)
又
是△ABC的内角，所以
． …………………………………………… (6分)
（2）（方法一）由正弦定理得．
， …………………………………………………… (7分)
又 ，
∴ 
，
…………………………………………………………………… (9分)
∴ 
，即 
． ……………………………………………………………… (10分)
所以△ABC是等边三角形． ………………………………………………………………… (12分)
（方法二）
， ………………………………… (7分)
又 
，
∴ 
， ……………………………………………………… (8分)
，又 
， ……………………………………………………… (9分)
∴ 
，即
， ……………………………………………………………… (10分)
所以△ABC是等边三角形． ……………………………………………………………… (12分)
17．（本小题满分12分）解．(1) 
，∴
， ………………… (3分)
，
……………………… (6分)
(2) ∵，∴
，
……………………… (9分)
∴
……… (12分)
18．（本小题满分14分） 解：(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4 ’表示)为：
（2，3）、（2，4）、（2，4 ’）、（3，2）、（3，4）、（3，4 ’）、
（4，2）、（4，3）、（4，4 ’）、（ 4 ’，2）、（4 ’，3）（4 ’，4），共12种不同情况．……… (5分)
(没有写全面时：只写出1个不给分，2—4个给1分，5—8个给2分，9—11个给3分)
（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4．因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为；…… (9分)
（3）由甲抽到牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4 ’，2）、（4 ’，3）5种， ………… (11分)
甲胜的概率
，乙获胜的概率为
．∵
＜
，∴此游戏不公平．………… (14分)
19．（本小题满分14分）证：
(1) 连接AC、OE，AC
BD=O，
…………
(1分)
在△PAC中，∵E为PC中点，O为AC中点．∴PA // EO，…… (3分)
又∵EO 
平面EBD ，PA 
平面EBD，∴PA
//BDE．…………
(7分)
（2）∵PO底面ABCD，∴POBD．
…………
(9分)
又∵BDAC，∴BD平面PAC．
…………
(12分)
又BD平面BDE，∴平面PAC平面BDE． ………… (14分)
20．（本小题满分14分）
解：（1）设椭圆方程为
……………………… (2分)
椭圆过M，N两点，∴
……………………… (3分)
……………………… (4分)
椭圆方程为
﹒故椭圆的离心率为
． ……………………… (6分)
（2）设存在点P
满足题设条件，∴
=
又 
=
，
∴=
=
， ……………………… (8分)
当
即
，的最小值为 
依题意，
，
……………………… (10分)
∴
即
，此时
，
……………………… (11分)
的最小值为
．依题意
，∴
，此时点P的坐标是
．……… (13分)
故当时，存在这样的点满足条件，点的坐标是． ……………………… (14分)
21．（本小题满分14分） 解：（1）与的图象关于对称，
设点
是上的任意一点．则点
关于的对称点
在函数的图象上．∴
． ……………………… (2分)
（2）
=
，又是函数的一个极值点，
∴
，得
， ……………………… (3分)
故
．
，当
，
，
∴在
上是减函数． ……………………… (4分)
，
， ……………………… (5分)
故对任意
，有
． ……………………… (6分)
（3）若在
是减函数，则
在上恒成立．
即
在上恒成立，此时不存在； ……………………… (8分)
若在是增函数，即
在上恒成立．故
． …………… (10分)
设
则
，∴
矛盾， ……………………… (12分)
若
则
∴
矛盾！
故
．
……………………… (14分)