上海市进才中学2007届高三理科月考六数学试题
一、填空题（满分48分，每小题4分）
1．在直角坐标系中，直线
的倾斜角是_______________。
2．若复数
，则
________。
3．在长方体
中，若
，则点
到平面
的距离为 ___________。
4．已知向量
，若
三点共线，则
__________。
5．椭圆
的两个焦点的坐标为________和________。
6．某城市1990年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该城市每年人口的平均增长率为1%，为使2000年底人均住房面积达到
7．已知函数
满足
，若
时，
，则
与
的图象交点的个数是__________。
8．若定义运算
为：
，则函数
的值域为___________。
9．《数学手册》中有这样的结论：
，其中
为常数。在一个正
边形中，若它的中心到顶点的距离为
，以
记此正多边形的面积，则
__________。
10．若以连续掷两次骰子得到的点数
分别作为点
的横坐标与纵坐标，则点落在点集
且
内的概率为____________。
11．若不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围是___________。
12．对于定义在
上的函数，若同时满足：①
在内单调；②存在区间
， 使在区间
上值域为，则函数
称为闭函数。按照上述定义，
若函数
为闭函数，则符合条件②的区间可以是____________。
二、选择题（满分16分，每小题4分）
13．给出下列正方体的侧面展开图，其中
分别是正方体的棱的中点，那么，在原正方体中，
与
所在直线为异面直线的是
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
14．设直线
关于原点对称的直线为
，若与椭圆
的交点为
，
点为椭圆上的动点，则使
的面积为
的点的个数为
（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
15．如图，函数
的图象是
（ ）
（A） （B） （C） （D）
16．设
是从
这三个整数中取值的数列，若
，且
，则当中取零的个数为 （ ）
（A）10 （B）11 （C）15 （D）25
三、解答题（满分86分）
17．（本题满分12分）已知
，且
，复数
，当
为何值时，
取得最大值，并求出该最大值。
18．（本题满分12分）设函数
，条件
，条件
，若是
的充分条件，求实数的取值范围。
19．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
如图，在直三棱柱
中，
，
，
为的中点，
为
上的点，且
。
（1）求证：平面
平面
；
（2）求异面直线
与
所成角的大小。
20．（本题满分14分，第（1）题5分，第（2）题9分）
自然状态下的鱼类是一种可再生的资源。为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力
及捕捞强度对鱼群总量的影响。用
表示某鱼群在第年年初的总量，且
。不考虑其他因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与
成正比，死亡量与
成正比，这些比例系数依次为正常数
。
（1）求
与的关系式；
（2）若
，且
，试求
的值，使得当且仅当从第三年起，每年年
初鱼群的总量保持不变。
21．（本题满分16分，第（1）题6分，第（2）题6分，第（3）题4分）
已知抛物线
，直线
交
于
两点。
（1）求证：命题“若直线过点
，则
（
为坐标原点）”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由；
（3）将点向右或向左移动为点
，直线过点交于两点。当
及
时，分别猜测
大小的变化情况（只须写出结论，不必证明）。
22．（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）
已知
及
。
（1）求
的定义域及
的值；
（2）求的最小值；
（3）若
，是否存在满足下列条件的正数
，使得对于任意的正
数
，都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出的取值范围；若不存在，请说明理由。
进才中学2007届高三理科月考六数学试题
一、填空题（满分48分，每小题4分）
1．在直角坐标系中，直线的倾斜角是
。
2．若复数，则 0 。
3．在长方体中，若，则点到平面的距离为
。
4．已知向量，若三点共线，则 2 。
5．椭圆的两个焦点的坐标为
和
。
6．某城市1990年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该城市每年人口的平均增长率
为1%，为使2000年底人均住房面积达到
米（用四舍五入法，精确到整数）。
7．已知函数满足，若时，，则
与的图象交点的个数是 4 。
8．若定义运算为：，则函数的值域为
。
9．《数学手册》中有这样的结论：，其中为常数。在一个正边形中，若它
的中心到顶点的距离为，以记此正多边形的面积，则
。
10．若以连续掷两次骰子得到的点数分别作为点的横坐标与纵坐标，则点落在点集
且内的概率为
。
11．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是
。
12．对于定义在上的函数，若同时满足：①在内单调；②存在区间，
使在区间上值域为，则函数称为闭函数。按照上述定义，
若函数为闭函数，则符合条件②的区间可以是
。
二、选择题（满分16分，每小题4分）
13．给出下列正方体的侧面展开图，其中分别是正方体的棱的中点，那么，在原正
方体中，与所在直线为异面直线的是
（ D ）
（A）
（B）
（C）
（D）
14．设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为，
点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为
（ B ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
15．如图，函数的图象是
（ C ）
（A） （B） （C） （D）
16．设是从这三个整数中取值的数列，若，且
，则当中取零的个数为 （ B ）
（A）10 （B）11 （C）15 （D）25
三、解答题（满分86分）
17．（本题满分12分）
已知，且，复数，当为何值时，取得最大值，并求出该最大值。
17．设
，且
。……………………………………………………………………（3分）
，………………………………………………………………………（6分）
。……………………………………………………（9分）
∴当
，即
时，
。……………………………………………………………………（12分）
或设
，
，………………………………（4分）
。………………………………………………………………（8分）
∴当
或
，即时，。………………………………………（12分）
18．（本题满分12分）
设函数，条件，条件，
若是的充分条件，求实数的取值范围。
18．
。………………………（4分）
当
时，
，即
。…………………………………（8分）
由
。………………………………………………………………（10分）
∵
是
的充分条件，∴
，即
。………………………………………………………（12分）
19．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
如图，在直三棱柱中，，，为的中点，
为上的点，且。
（1）求证：平面平面；
（2）求异面直线与所成角的大小。
19．（1）依题意，
平面
。……………………………………（4分）
又
平面
，∴平面
平面
。…………………………………………………（6分）
（2）以
为原点，射线
分别
轴的正方向建立空间直角坐标系，…………………（7分）
则
。
∴
，
。……………………………………………………………（10分）
设
与
所成的角为
，
，
。…………………（13分）
故异面直线
与
所成角的大小为
。………………………………………………（14分）
20．（本题满分14分，第（1）题5分，第（2）题9分）
自然状态下的鱼类是一种可再生的资源。为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力
及捕捞强度对鱼群总量的影响。用表示某鱼群在第年年初的总量，且。不考虑其他因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数。
（1）求与的关系式；
（2）若，且，试求的值，使得当且仅当从第三年起，每年年
初鱼群的总量保持不变。
20．（1）从第
年初到第
年初，鱼群的繁殖量为
，被捕捞量为
，死亡量为
。
因此
，即
。…………………（5分）
（2）当
时，
。………………………………………（7分）
当
时，
。∵
，∴
。…………………………（9分）
由
，解得
（
不合题意，舍去）。……………………（11分）
由
，解得
。………………………………………………（13分）
答：当时，可使得当且仅当从第三年起，每年年初鱼群的总量保持不变。……………（14分）
21．（本题满分16分，第（1）题6分，第（2）题6分，第（3）题4分）
已知抛物线，直线交于两点。
（1）求证：命题“若直线过点，则（为坐标原点）”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由；
（3）将点向右或向左移动为点，直线过点交于两点。当及
时，分别猜测大小的变化情况（只须写出结论，不必证明）。
21．（1）设直线
的方程为
，…………………………………………………………………………（1分）
将
代入
，得
，即
。………………………（3分）
设
。∵
，………………………………………（5分）
∴
，即
。…………………………………………………………………………（6分）
（2）逆命题：若，则若直线过点
。它是真命题。…………………………………（8分）
证明：设直线与
轴的交点为
，方程为
，
与联立，得
。
设，∵，∴
。
∵
，∴
。即直线过定点
。……………………………………………………（12分）
（3）当过
且
时，
为锐角；
当过且
时，为锐角。……………………………………………………（16分）
22．（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）
已知及。
（1）求的定义域及的值；
（2）求的最小值；
（3）若，是否存在满足下列条件的正数，使得对于任意的正
数，都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出的取值范围；若不存在，请说明理由。
22．（1）
的定义域均为
；……………………………………………………………………（2分）
。……………………………………………………………（4分）
（2）∵
，∴
。……………………………………………………（7分）
易知函数
与
在上均为增函数，∴
。（10分）
（3）∵
，…………………………………………………………………………（11分）
∴若能构成三角形，只需
恒成立。……（13分）
由（1）知，
，
∵
，∴
，即
。…………………………………………（15分）
由（2）知，，∴
。…………………………………………………………（17分）
综上，存在
，满足题设条件。……………………………………………………（18分）