2006－2007学年度上学期
高中学生学科素质训练
高三数学第一轮复习单元测试（8）— 《立体几何》
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．给出下列四个命题
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线
与同一平面所成的角相等,则互相平行.④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C1，这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
、
、
，这个长方体对角线的长为（ ）
A．2 B．3 C．6
D．
4．已知二面角α－l－β的大小为600,m、n为异面直线,且m⊥α,n⊥β,则m、n所成的角为
（ ）
|
5．如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，
G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点.将△ABC
沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度
数为 （ ）
A．90° B．60°
C．45° D．0°
6．两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长
为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方
体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，
则这样的几何体体积的可能值有 （ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．无穷多个
7．正方体A′B′C′D′—ABCD的棱长为a，EF在AB上滑动，且EF=b（b＜a＝，Q点在D′C′上滑动，则四面体A′—EFQ的体积为 （ ）
A．与E、F位置有关 B．与Q位置有关
C．与E、F、Q位置都有关 D．与E、F、Q位置均无关，是定值
8．（理）高为5，底面边长为4
的正三棱柱形容器（下有底），可放置最大球的半径是（ ）
A．
B．2
C．
D．
（文）三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为1∶
2∶3，PO=2
，则P到这三个平面的距离分别是 （ ）
A．1，2，3 B．2，4，6 C．1，4，6 D．3，6，9
9．如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四
面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，
且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四
面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－
BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，
S2，则必有 （ ）
A．S1<S2
B．S1>S2
C．S1=S2
D．S1，S2的大小关系不能确定
10．已知球o的半径是1,ABC三点都在球面上,AB两点和AC两点的球面距离都是
,BC两点的球面距离是
,则二面角B－OA－C的大小是 （ ）
A． B． C．
D．
11．条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知棱锥的顶点为P，P在底面上的射影为O，PO=a，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO于点M，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b，则a与b的关系是 （ ）
A．b=（－1）a B．b=（+1）a
C．b=
D．b=
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
13．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为
，则侧面与底面所成的二面角等于_______________.
14．若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为
,则
=______．
15．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________.
16．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，
如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶
点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶
点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其
余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能
是： （ ）
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为______________．（写出所有正
确结论的编号）
三、解答题(本大题共6小题, 共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）在长方体
中，已知
，求异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
18．（本小题满分12分）如图，
、
是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，
.
（1）证明
⊥
；
（2）若
，求与平面ABC所成角的余弦值.
19．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体
中，
是侧棱
上的一点，
.
（1）试确定
，使得直线
与平面
所成角的正切值为
；
（2）在线段
上是否存在一个定点
，使得对任意的，
在平面
上的射影垂直于.并证明你的结论.
20．（本小题满分12分）（理）如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，设AB=a，BC=b，PA=c.
（1）建立适当的空间直角坐标系，写出A、B、M、N点的坐标，并证明MN⊥AB；
（2）平面PDC和平面ABCD所成的二面角为θ，当θ为何值时（与a、b、c无关），
|
（文）正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点.
（1）求证：PB⊥平面MNB1；
（2）设二面角M—B1N—B为α，求cosα的值.
21．（本小题满分12分）已知正方形
.
、
分别是、
的中点,将ADE沿
折起,如图所示,记二面角
的大小为
.
（1）证明
平面
;
（2）若
为正三角形,试判断点
在平面
内的射影
是否在直线
上,证明你的结论,并求角
的余弦值.
22．（本小题满分14分）如图,在长方体ABCD─A1B1C1D1中,E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.
（1）求证:MN∥面ADD1A1;
（2）求二面角P─AE─D的大小;
（3）求三棱锥P─DEN的体积.
参考答案（8）
1. D．利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D.
2. D．由题意易知∠ABC1是AD与BC1所成的角，解△ABC1，得余弦为.答案：D．
3. D．设长宽高为a、b、c，则
l=，答案：D．
4. B. 作图可知满足条件的m、n所成的角1200为故应选B.
5. B．平面图形折叠后为正三棱锥.如图，取EF的中点M，连结IM、MJ，则MJ
FD，GHFD，∴MJ∥GH，∠IJM为异面直线GH与JI所成的角.
由已知条件易证△MJI为正三角形.∴∠IJM=60°.答案：B．
6. D． 法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个
|
，考查放入正方体后，面ABCD所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是
，所以该几何体的体积取值范围是
7. D．VA′－EFQ=VQ－A′EF.
|
tan30°=2.
（文）B．
9. C ．连OA、OB、OC、OD则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD
VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故选C
|
,而∠BOC=,因为OA=OB=OC=1,所以BC=1,且分别过B C作OA的垂线,垂足为同一点M,于是∠BMC为二面角B－OA－C的平面角,所以BM=CM=
,从而∠BMC=,应选C.
11. B．乙
甲，但甲
乙，例如四棱锥S—ABCD
的底面ABCD为菱形，但它不是正四棱锥.
12. C．由平行锥体底面的截面性质，知
=，∴
=
.∴
= .∴b=a.答案：C．
13. 
．底面正方形面积
，底面边长
，高
，二面角的余切值
.代入数据，得：
.又
必为锐角，所以 .
14.
．不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故
.
15.
．
16. ①③④⑤． 如图，B、D、A1到平面的距离分别为
1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所
以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的
距离为
，所以B1到平面的距离为5；则D、B的
中点到平面的距离为
，所以C到平面的距离
为3；C、A1的中点到平面的距离为
，所以C1到平面的距离为7；而P为C、
C1、B1、D1中的一点，所以填①③④⑤．
17.法一：连接
，
为异面直线与所成的角.
连接
，在△
中，
，
则
.
异面直线与所成角的大小为
.
法二：以
为坐标原点，分别以
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴，建立空间直角坐标系.
则 
，
得 
.
设
与
的夹角为，
则
，
与的夹角大小为，
即异面直线与所成角的大小为
.
18.（１）AM = MB = MN，说明NM是△ANB的中线且为边AB的一半，所以△ANB是直
角三角形，其中
ANB为直角。所以BN
NA。①
且MN
面ABNBN。②
由①、②可推出BN面NAC。所以ACBN。
（２）MNAB且M为AB中点AN = MN ③
由（１）知，AN、BN、CN两两垂直 ④
由③、④ AC = BC，又ACB = 
，所以△ABC
是等边三角形。
设BN长度为1，则AB = 
，
三棱锥
的体积为：
；
三棱锥
的体积为：
由
可得 点N到面ABC的距离
记NB与平面ABC所成角为，则
。
从而
实际上，这个题的命题背景是是正方体的一个“角”。如图3.
19. 法一：（１）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面
相交于点，,连结OG，因为
PC∥平面，
平面∩平面APC＝OG,
故OG∥PC，所以，OG＝
PC＝
.
又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，
故∠AGO是AP与平面所成的角.
在Rt△AOG中，tan
AGO＝
，即m＝
.
所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为
.
（２）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为
D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1，
又AP
平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP.
那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。
法二：(１)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)
所以
又由
知，
为
平面
的一个法向量.
设AP与平面所成的角为，则
依题意有
解得
．故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为．
（２）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为
，则Q(x，1－，1)，
。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1Q⊥AP
即Q为A1C1的中点时，满足题设要求.
20. （理）（1）证明：以A为原点，分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
则A（0，0，0），B（a，0，0），M（
，0，0），N（，
，
）.
=（a，0，0），
=（0，，）.
·=0AB⊥MN.
（2）P（0，0，c），C（a，b，0），
=（a，b，－c），若MN是PC、AB的公垂线段，则·=0，即－
+
=0b=c.
|
又∵AP⊥面ABCD
CD⊥DA
∴∠PDA是二面角P—CD—A的平面角.
∴∠PDA=45°，
即二面角P—CD—A是45°.
（文）（1）如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，取正方体棱长为2，则P（0，0，1）、M（2，1，0）、B（2，2，0）、B1（2，2，2）.
∵
·
=（2，2，－1）·（0，1，2）=0，
∴MB1⊥PB，同理，知NB1⊥PB.
∵MB1∩NB1=B1，∴PB⊥平面MNB1.
（2）∵PB⊥平面MNB1，BA⊥平面B1BN，∴=（2，2，－1）与
=（0，2，0）所夹的角即为α，cosα=
=
.
21. (１)EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,
EB//FD,且EB=FD,
四边形EBFD为平行四边形.BF//ED
平面.
（2）法一:如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,
过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.
ACD为正三角形,
AC=ADCG=GD G在CD的垂直平分线上,
点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,
过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则
,所以
为二面角A-DE-C的平面角.即
设原正方体的边长为2a,连结AF
在折后图的AEF中,AF=
,EF=2AE=2a,
即AEF为直角三角形, 
在RtADE中, 
.
法二:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
连结AF,在平面AEF内过点作
,垂足为
.
ACD为正三角形,F为CD的中点,
又因
, 所以
又且
为A在平面BCDE内的射影G.
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上
过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即 设原正方体的边长为2a,连结AF
在折后图的AEF中, AF=,EF=2AE=2a,
即AEF为直角三角形,
在RtADE中,
.
法三: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.
ACD为正三角形, F为CD的中点,
又因, 所以
又
为A在平面BCDE内的射影G.
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上
过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即 设原正方体的边长为2a,连结AF
在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,
即AEF为直角三角形,
在RtADE中,
, .
22. 法一：以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别
为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D─xyz,
则A(a,0,0)、B(a,2a,0)、C(0,2a,0)、A1(a,0,a)、
D1(0,0,a) ∵E、P分别是BC、A1D1的中点,M、
N分别是AE、CD1的中点,
∴E(
),P(
),M(
) ,N(
)
(1) 
,取
,显然
⊥面ADD1A1
而
,∴
.又∴MN
面ADD1A1, ∴MN∥面ADD1A1;
(2)过P作PH⊥AE,交AE于H.取AD的中点F,则F
,设H(x,y,0),
则
,
.
又
,由
以及H在直线AE上可得:
解得x=
,y=
.∴
,
所以
即
,∴
与
所夹的角等于二面角P─AE─D的大小.
,
所以二面角P─AE─D的大小
.
(３)设
为平面DEN的法向量,
又
,
,
∴P点到平面DEN的距离为d=
∵
,
,
.
所以
.
法二: (１)证明:取
的中点
,连结
∵
分别为
的中点
∵
∴
面
,
面
∴面
面
∴
面
(2)设
为
的中点
∵
为
的中点
∴
∴
面
作
,交
于
,连结
,则由三垂线定理得
从而
为二面角
的平面角.
在
中,
,从而
.
在
中,
故:二面角的大小为
（3）
.
作
,交
于
,由
,得
,∴
.
在
中,
,
∴
.
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