江苏省扬州中学2006-2007学年度第二学期开学考试
高三数学试卷 2007.2
一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，计50分）
1．两个非空集合
和
，它们都是全集
的子集，满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．
是指（ ）
A．
中至少有一个不是0
B．
且
C．或
D． 不都是0
3．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则
的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
４．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线
与
的位置关系是( )
A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直
5．已知函数
，如果当
时，有
，则实数
等于（ ）
A．
或
B．或
C．或
D．或
6．
已知：
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在数列
中，
，则
为（ ）
A．34 B．36 C．38 D．40
8．设
，那么
的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．正方体
的棱长为
，在正方体表面上与点
距离是
的点形成一条曲线，这条曲线的长度是 ( )
A．
B． 
C．
D．
10．动点P为椭圆
上异于椭圆顶点
的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F1P的延长线、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）
A．一条直线 B．双曲线的右支 C．抛物线 D．椭圆
二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，计30分）
11．若指数函数
的部分对应值如下表：
|
| －2 | 0 | 2 |
|
| 0.694 | 1 | 1.44 |
则不等式
的解集为
．
12．有一解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在
中，已知
， ，求角．经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示
，试将条件在横线处补全．
13．设
展开式中的各项系数之和为，而它的二项式系数之和为
，若
，那么展开式中
的系数为
．
14．设
．若
是函数
的单调递增区间，将的图象按向量
平移得到一个新的函数
的图象，则的单调递减区间必定为
．
15．袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 ．（用最简分数作答）
16．等差数列
的前
项和为
，公差
. 若存在正整数
，使得
，则当
（
）时，有
（填“>”、“<”、“=”）．
三．解答题：（本大题共5小题，第17、18小题每小题12分，第19题14分，第20、21题每小题16分，共计70分）
17． 已知向量
，向量
与向量
的夹角为
，且
．
（Ⅰ）求向量；
（Ⅱ）设向量
，向量
，其中
，
若
，试求
的取值范围．
18．已知单调递增的等比数列满足
，且
是
的等差中项．
（Ⅰ）数列的通项公式；
（Ⅱ）若
，求使
成立的正整数的最小值．
19．已知矩形ABCD中，
，将ΔABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上，E、F、G分别为棱BD、AD、AB的中点．
（I）求证：DA⊥平面ABC；
（II）求点C到平面ABD的距离；
（III）求二面角G—FC—E的大小．
20．
点P在以
为焦点的双曲线
上，已知
，
，O为坐标原点．
（Ⅰ）求双曲线的离心率
；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于
两点，且
，
，求双曲线E的方程；
（Ⅲ）若过点
（为非零常数）的直线
与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且
（
为非零常数），问在
轴上是否存在定点G，使
？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知函数
，
，和直线
，又
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）是否存在
的值，使直线既是曲线
的切线，又是
的切线；如果存在，求出的值；如果不存在,说明理由．
（Ⅲ）如果对于所有
的,都有
成立，求的取值范围．
命题：钱 伟
校对：姜卫东
江苏省扬州中学2006-2007学年度高三第二学期开学考试
数学试卷答题纸 2007.2
一、选择题：（每题5分，共50分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | C | B | D | C | D | B | C | C | D | A |
二、填空题：（每题5分，共30分）
11．
12．
13．1
14． 
15．
16．
三、解答题：（第17、18小题每小题12分，第19题14分，第20、21题每小题16分，共计70分）
17．解：（I）设
，
则
或
（II）
。
18．解：（I）设的首项为
公比为
，
，
单调递增
（II）
，
，由
有
最小值为5。
19．解：（I）证明：依条件可知DA⊥AB ①∵点A在平面BCD上的射影落在DC上,即平面ACD经过平面BCD的垂线∴平面ACD⊥平面BCD
又依条件可知BC⊥DC,∴BC⊥平面ACD,∵DA
平面ACD∴BC⊥DA ②
∴由①、②得DA⊥平面ABC
（II）解：设求点C到平面ABD的距离为d,于是
由（I）结论可知DA⊥平面ABC∴DA是三棱锥D—ABC的高
∴由，得
解得
即点C到平面ABD的距离为（或者证明CG⊥平面ABD，求CG的长即可）。
（III）解：由（I）结论可知DA⊥平面ABC∵AC、CG平面ABC
∴DA⊥AC ① DA⊥CG ②
由①得ΔADC为直角三角形，易求出AC＝1,于是ΔABC中AC＝BC＝1
∵G是等腰ΔABC底边AB的中点∴CG⊥AB ③
④∴由②、③、④得CG⊥平面ABD
∵CG平面FGC∴平面ABD⊥平面FGC在平面ABD内作EH⊥FG，垂足为H
∴EH⊥平面FGC,作HK⊥FC，垂足为K连结EK，故EK⊥FC
∴∠EKH为二面角E—FC—G的平面角
设RtΔABD边BD上的高为h，容易求出
在ΔEFC中，容易求出
三边长满足
于是在RtΔFEC中容易求出
于是二面角E—FC—G的大小为
20．解：（I）
（II）
渐近线为
设
，
代入
化简
（III）假设在轴上存在定点
使，
设
联立与的方程得
故
由
∴（3）即为
，将（4）代入（1）（2）
有
代入（5）得
故在轴上存在定点
使。
21．解：（Ⅰ）因为
,所以
即
,所以a=－2.
(Ⅱ)因为直线
恒过点（0，9）.
先求直线是y=g(x) 的切线.设切点为
,因为
.
所以切线方程为
,将点（0，9）代入得
.
当
时，切线方程为y=9, 当
时，切线方程为y=12x+9.
由
得
，即有
当
时，的切线
，
当
时， 的切线方程为
是公切线，
又由
得
或
，
当时的切线为
，
当时的切线为
，
，不是公切线
综上所述
时是两曲线的公切线
(Ⅲ).（1）
得
，当，不等式恒成立，
.
当
时，不等式为
，
而
当
时，不等式为
，
当时,恒成立，则
（2）由
得
当时，
恒成立，，当时有
设
=
，
当时
为增函数，
也为增函数
要使在上恒成立，则
由上述过程只要考虑
，
则当时
=
在
时
，在
时
在时有极大值即在
上的最大值，又
，即
而当,
时
，一定成立
综上所述.