辽宁省沈阳市2007年高三教学质量监测（二）数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目和座位号填写清楚，将考号、座位号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上。
3．考试结束，考生将试卷和答题卡上并交回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式
，其中R表示球的半径.
球的体积公式
，其中R表示球的半径.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合
，则
= （ ）
A．[0，2] B．[1，3] C．
D．
2．已知平面向量
，则向量
与向量
的夹角是 （ ）
A．
B．
C．
D．
|
的图象是 （ ）
|
时，则
的值为 （ ）
A．
B．
C．－2 D．2
5．教室里有30名同学，老师想把横、竖版两种答题卡各15张发给同学，每人一张，有（ ）种分法.
A．
B．
C．
D．
6．已知
，则
的值是 （ ）
A．0 B．25 C．210 D．410
7．定义在R上的函数f(x)满足：f(x) = f (4－x)且f (2－x) + f (x－2) = 0，则f (2008)的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．无法确定
8．在△ABC中，给出下列四个命题：
①若
，则△ABC必是等腰三角形；
②若
，则△ABC必是直角三角形；
③若
，则△ABC必是钝角三角形；
④若
，则△ABC必是等边三角形.
以上命题中正确的命题的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知命题P：
；命题Q：
，则P是Q的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
10．（理）已知双曲线
，被方向向量为
的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值是 （ ）
|
B．
C．
D．2
（文）定义运算
的切线方程中有一个是（ ）
A．x－y = c B．x + y = 0 C．x = 0 D．y = 0
11．（理）在平在直角坐标系中，对于点(x，y)满足：“
”，目标函数
，那么满足z =－2的解(x，y)有（ ）个.
A．0 B．1 C．2 D．无数
（文）在平面直角坐标系中，对于点(x，y)满足：“
”，那么使得目标函数z = x + y有最大值的解(x，y)有（ ）个.
A．0 B．1 C．2 D．无数
|
，沿BD折在直二面角A—BD—C，则三棱锥A—BCD的外接球的体积是 （ ）
A．
B．
|
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上.
13．（理）设a、
.
（文）在总体数为20的数据中抽出6个数据作为样本，这6个数据是2，2，3，3，4，4，那么用这6个数据估计总体的方差是 .
14．（理）已知点
上一动点
的最小值是 .
（文）数列{an}，a3 =
2，a7 = 1且数列
是等差数列，则a11 .
15．（理）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O1 上底面A1B1C1D1的中心，O是下底面ABCD的中心，则OB与CO所成角的余弦值为 .
（文）已知点
上一动点的最小值是 .
16．给出下列五个命题：
①函数
的图象的对称中心是点（1，1）；②函数
在第一象限内是增函数；③已知a，b，m均是正数，且
；④若直线l∥平面α，直线l⊥直线m，直线
，则
；⑤当椭圆的离心率e越接近于0时，这个椭圆的形状就越接近于圆.
其中正确命题的序号为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程书写在试卷中的对应空白处.
17．（本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，S是该三角形的面积，且
|
（1）求角A的大小；
（2）若角A为锐角，
，求边BC上的中线AD的长.
18．（本小题满分12分）
一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行.
（理）求抽取次数
的分布列和数学期望.
（文）求抽取次数不多于三次的概率.
19．（本小题满分12分）
|
且AB = AA1 = 2，AC = 1.
（1）求证：A1B⊥CB1；
（2）求证：AC⊥平面CBA1；
（3）求二面角C—B1B—A的平面角的大小.
20．（本小题满分12分）
（理）设
|
（2）设f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围.
（文）已知数列{an}中，
（1）求证：数列{bn}为等比数列；
（2）若
21．（本小题满分12分）
（理）如图所示，已知椭圆
的焦距为2c，左右准线分别为l1、l2，长轴顶点为A1、A2，左右焦点分别为F1、F2.
|
试判断以线段AB为直径的圆与椭圆右
准线l2的位置关系，并证明你的结论；
（2）过椭圆上任意纵坐标非零的点P作直线
PA1与PA2分别交l1于M、N两点.
求证：NF1⊥MF1.
（文）已知函数
（1）要使f(x)在（0,2）上单调递增，试求a的取值范围；
（2）当a < 0时，若函数满足y极大值=1，y极小值=－3，试求函数y = f(x)的解析式；
（3）若
时，y = f(x)图角上任意一点处的切线倾角为θ，求当
时，a的取值范围.
22．（本小题满分14分）
（理）已知函数
，函数f(x)的图象与x轴有两个交点.
（1）求a与b的值；
（2）若函数f(x)的导数为
，数列{an}满足
，设
，求数列{bn}的通项公式；
（3）在（2）的条件下设
，试孙函数g(x)在x =
1处的导数
，并比较
的大小.
（文）如图所示，已知椭圆
的焦距为2c，左右准线分别为l1、l2，长轴顶点为A1、A2，左右焦点分别为F1、F2.
（1）过右焦点F2作直线交椭圆于A、B两点，试判断以线段AB为直径的圆与椭圆右
准线l2的位置关系，并证明你的结论；
（2）过椭圆上任意纵坐标非零的点P作直线PA1与PA2分别交l1于M、N两点.
|
辽宁省沈阳市2007年高中三年级教学质量监测（二）
数学试题参考答案
|
1．D 2．D 3．A 4．B 5．A 6．C 7．B 8．B 9．B
|
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．（理）－1 （文）
14．（理）2 （文）
15．（理） （文）2 16．③⑤
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
17．（1）原式
…………………………2分
…………………………4分
因
…………………………………………………… 6分
（1）因A为锐角，则
而面积
…………………8分
解法一：又由余弦定理
，………………10分
又
，
即
……………………………………………………………………12分
解法二：如图，作CE平行于AB，并延长AD交CE地E，
在△ACE中，
又
即
这样
…………………………………………………………12分
18．（理）解：（1）计事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，所以
………………………………………………………………4分
（2）（理）ξ可取1，2，3，4.
，
； …………8分
故ξ的分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P |
|
|
|
|
……………………………………………………………10分
答：ξ的数学期望为
………………………………………………………………12分
（文）由已知抽取一次停止的概率为
， ………………………………6分
抽取两次停止的概率为
，………………………………………8分
抽取三次停止的概率为
，………………………………10分
所以抽取次数水多于三次的概率
…………12分
|
过C作CO⊥平面BAA1B1于O，
作OD⊥AA1于D；OE⊥AB于E，
连接CD、CE，
则Rt△ADC≌Rt△AEC，即AE= AD，连结AD，
则Rt△AEO≌Rt△ADO，故∠EAO=∠OAD，
所以O在∠BAA1的平分线上. ………………2分
又AB=AA1，则平行四边形BAA1B1是菱形，
则O在AB1上，且A1B⊥AB1，
所以CB1在平面ABB1A1的射影是OB1，又A1B⊥AB1，则A1B⊥CB1，…………4分
（2）因AB=AA1=2，AC=1，∠BAA1=∠A1AC=∠CAB=60°，
在△ABC中BC=，则△ABC是直角三角形，即AC⊥BC，
同理△AA1C是直角三角形，即AC⊥CA1，且CA1=，则AC⊥平面CBA1……8分
（3）令A1B交AB1于G，则AC⊥CG，
即在Rt△ACG中，AC=1，AG=，则CO=
，AO=
，
过O作OF⊥B1B于F，连结CF由（1）知OF是CF在平面ABB1A1内的射影，
则CF⊥BB1，所以在Rt△COF中∠CFO即是欲求二面角的平面角 ………………10分
又CO=，在Rt△OFB1中，OB1=
，sin∠OB1F=
，
则OF=
，于是在Rt△COF中tan∠CFO=
所以，二面角C—B1B—A的平面角的大小为
……………………12分
20．（理）解（1）
，
（1）当
令
；
令
的极小值点的横坐标 ……………………………………………………3分
（2）当
，
解得
，
当x变化时，
的变化情况如下表：
| x | (－∞，x1) | x1 | (x1，x2) | x2 | (x2,+∞) |
| f′(x) | + | 0 | － | 0 | + |
| f(x) |
| 极大值 |
| 极小值 |
|
∴x1是极大值点的横坐标，x2是极小值点的横坐标 …………………………………6分
（2）因为f(x)在[－1，1]上是单调函数，
又
即
在[－1，1]上恒成立
……………………………8分
（1）当
，显然成立 …………………………………………7分
（2）当a<0时，则抛物线
开口向下
即
……………………………………………11分
综上所述，a的取值范围是
……………………………………………… 12分
（文）（1）
，
∴{bn}为首项是2公比是2的等比数列 ……………………………………………6分
证明：（1）
；
①
； ②……………………………8分
①－②得：
…………………………10分
…………………………………………………………………………11分
………………………………………………………………12分
21．（理）解：（1）设AB的中点为T，分别过点A，B，T作准线l1的垂线，垂足分别为
由椭圆的定义知，
，
则
，………………………… 4分
所以以线段AB为直径的圆与椭圆右准线相离………6分
（2）证明：设椭圆上任意一点
椭圆的左焦点为
，
则直线PA2的方程为：
，求得点N的坐标为
， ……………………………………………（7分）（文8分）
又直线PA1的方程为：，求得点M的坐标为
，………………………………………………（8分）（文10分）
则直线MF1的斜率
，
…………………………（10分）（文12分）
因为点
，所以
，所以NF1⊥MF1 …（12分）（文14分）
（文）解：（1）
，要使f(x)在（0，2）上单调递增，
则
在（0，2）上恒成立 …………………………………………………2分
即
…………………………………………… 4分
（2）令
，
，
…………………………………………………………8分
（3）
，
上恒成立
由
，
又
（当且仅当
时取“=”），
，综上，a的取值范围是
………………………………12分
22．（理）解：（1）
知
，所以（1，0）是函数
的图象与x轴的一个交点，由三次函数图象的性质，另一个交点必为极大值点，即
由
…………………………4分
（2）由（1）知
，
两边取对数
，即
，
所以数列{bn}是首项为2公比为2的等比数列，
则
……………………………………………………………………………… 8分
（3）
①
②
②－①，得
，
， ………………………………………………………………10分
当
；
当
；
当
；
当
，
又
，
所以
…………………………………………12分
综上当
；
当
…………………………………………………………14分