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数学(理科)试题 命题：
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．第Ⅰ卷的答案用2B铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷的答案或解答过程均写在答题纸内的指定处，写在试题卷上的无效．
2．答题前，考生务必将自己的“班级”、“学号”、“姓名”写在答题卡和答题纸上．
3．考试结束后，只交答题卡和答题纸．
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
R
2．在复平面内，复数
对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．
=
（ ）
A. 
B. 
C. 
D.
4．如果
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中
的系数是 （ ）
A．7
B．
C．21
D．
5．设x，y满足不等式组
则z=3x－2y的最大值是
A．0 B．2 C．8 D．16
6．不等式
（ ）A．（0,
B.(-∞,0)∪（0，
]
C．(-∞, )∪[1,3]
D.(-∞,0)∪(0, )∪[1,3]
7．设函数
的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．对于直线
、
和平面
、
，∥的一个充分不必要条件是
（ ）
A. ∥，∥ B. ∥，∥，∥
C. ⊥，⊥，∥ D. ⊥，⊥，∥
9．从一块短轴长为2的椭圆形玻璃镜中划出一块矩形，其面积的最大值在
内，则这一椭圆离心率e的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．一次研究性课堂上，老师给出函数
，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
甲：函数
的值域为
；
乙：若
，则一定有
；
丙：若规定
，则
对任意
恒成立.
你认为上述三个命题中正确的个数有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11某展览会一周（七天）内要接待三所学校学生参观，每天至多安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观2天，其余学校均只参观1天，则在这一周内不同的安排方法数是 （用数字作答）。
12．为了解某中学高一新生的体重情况，抽查了该中学1000名高一新生的体重（kg），得到频率分布直方图（如右图），根据右图可得这1000名学生中体重不小于60（kg）的学生人数是 .
13．过点（1，2）总可作两条直线与圆
相切，则实数
的取值范围
是
14．在凸四边形ABCD中，AB=4，BC=3，
，且
，则
等于
15．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有如下四个结论：
①AC⊥BD； ②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD所成的角为60° ④AB与CD所成的角为60°
其中正确结论的序号是 .（写出所有你认为正确的结论的序号）
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16．(本小题满分12分)
已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、，b、c，若a、b、c成等差数列，且
，求角B的大小，并判断△ABC的形状。
17．（本小题满分12分）已知数列
满足递推关系式
（Ⅰ）求
| |
的通项公式；
（Ⅲ）求数列的前n项和Sn.
18．(本小题满分12分)
|
中，侧棱PA⊥底面ABCD， AD∥BC，
∠ABC=
，
，
．
（Ⅰ） 求点D到平面PBC的距离；
（Ⅱ） 求二面角
的大小．
19．（本小题满分12分）一种玩掷骰子放球游戏的规则是：若掷出1点，则在甲盒中放一球；若掷出2点或3点，则在乙盒中放一球；若掷出4点、5点或6点，则在丙盒中放一球。设掷三次后，甲、乙、丙盒内的球数分别是x，y，z。
（I）求随机变量y的分布列及数学期望；
（II）证明：Ex，Ey，Ez成等差数列。
20．（本小题满分13分）
如图，
是抛物线
的焦点，
是准线与
轴的交点，直线
经过点。
（1） 直线与抛物线有唯一公共点，求的方程；
（2） 直线与抛物线交于A，B两点，
（Ⅰ）记
的斜率分别为
，求
的值；
（Ⅱ）若点
在线段
上，且满足
，求点的轨迹方程。
 |
21．（本小题满分14分）已知函数
(1) 若
在
上单调递增，求的取值范围；
(2) 若定义在区间D上的函数
对于区间D上的任意两个值
总有以下不等式
成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.
试证判断当
时，是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明.
宜昌市2007届高三年级三月调研考试数学(理)试题参考答案
一．选择题 BCCCC DACAD
二． 填空题
11． 120 12．300 13．
14． 
15．（1）（2）（4）
三．解答题
16．解：
，
分
，
或
（舍）………………4分
……………6分，又
成等差数列，
，……7分
……9分， 化简得 
，………11分
是正三角形…………………………12分
另，边化角也可，略。
17．解：（1）由
知
解得：
同理得
……………………3分
（2）
即
构成以
为首项，以1为公差的等差数列，……………………6分
，
…………………………8分
（此问也可先猜，后用数学归纳法证明）
（3）
………12分
18．解：（Ⅰ）如图，在四棱锥
中，
∵BC∥AD，从而点D到平面PBC间的距离等于点A到平面PBC的距离.
∵∠ABC=，∴AB⊥BC， 又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面 PAB，………………2分
∴平面PAB⊥平面PBC，交线为PB，过A作AE⊥PB，垂足为E，则AE⊥平面PBC，
∴AE的长等于点D到平面PBC的距离．而
，∴
．………5分
|
．………………6分
（Ⅱ） ∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥底面ABCD，
引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，则CM⊥平面PAD，
∴MN是CN在平面PAD上的射影，
由三垂线定理可知CN⊥PD，
∴∠CNM是二面角的平面角．…………9分
依题意，，
∴
，∴
，
可知
，∴
，
，∴二面角的大小为
…… 12分
解法二：如图, A为原点，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
|
，，
∴，
∴. 则
，
，
，
，
∴
，
，
.
设平面PBC的一个法向量为
，则
令
，得
，
则点D到平面PBC的距离等于
．……………6分
（Ⅱ） ∵AB⊥PA，AB⊥AD，∴AB⊥底面PDA，∴平面PDA的一个法向量为
.
设平面PDC的一个法向量为
，
∵，
，∴
令
，得
，∴
.
∵二面角是锐二面角，∴二面角的大小为
．……12分
19．（Ⅰ）
可能的值是
…1分
…2分
…3分
…4分
…5分
随机变量的分布列
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
所以 
…8分
（Ⅱ）由题意知
， 所以
…10分
即 
得 
故
成等差数列。
…12分
20．解： 依题意
，直线斜率存在，设其斜率为
，则的方程为
，代入抛物线方程有：
……………2分
（1）若
，令
得，
，此时，的方程为
。…………………4分
若
，方程有唯一解。此时方程为
………5分
（2）显然，记
，则
，
，
………7分
（Ⅰ）
………………………9分
（Ⅱ）设点的坐标为
，∵，∴
，
∴
…………………11分 ∴
，………12分
由
得，
，又，∴
。
综上，点R的轨迹方程为
。…………………………13分
21．解：（Ⅰ）由
，得
……………………2分
欲使函数为上单调增函数，则
在上恒成立，即不等式
在上恒成立.也即
在上恒成立.………………4分
令
，上述问题等价于
，而为在上的减函数，则
，于是
为所求. …………………………………………………………6分
（Ⅱ）证明：由 得
……………………………………………………………………………7分
………………………………………………………………8分
而
① ………………………………………10分
又
， ∴
② …………11分
∵
∴
，
∵ ∴
③ ………………………………………………………13分
由①、②、③得
即
，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. …………14分