2006－2007学年度上学期
高中学生学科素质训练
高三数学第一轮复习单元测试（5）—《不等式》
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设
，已知命题
；命题
，则
是
成立的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知不等式
对任意正实数
恒成立，则正实数
的最小值为（ ）
Ａ．8 Ｂ．6 C．4 D．2
3．（文）命题p：若a、b∈R，则a+b>1是a+b>1的充分而不必要条件； 命题q：函数y=
的定义域是（－∞，－1
∪[3，+∞
．则 （ ）
A．“p或q”为假 B．p假q真
C．p真q假 D．“p且q”为真
（理）设偶函数f (x)=logax－b在(－∞，0)上递增，则f (a+1)与f (b+2)的大小关系是（ ）
A．f(a+1)=f (b+2) B．f (a+1)>f (b+2)
C．f(a+1)<f (b+2) D．不确定
4．（文）若
，则下列不等式 ①
；②
③
；④
中，正确的不等式有 （ ）
A．０个 B．１个 C．2个 D．３个
（理）某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x的函数关系为
则每两客车营运多少年，其运营的年平均利润最大 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（文）
成立的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条
（理）对于
的一切值，则
恒成立的 （ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．若a,b,c＞0且a (a+b+c)+bc=4-2
,则2a+b+c的最小值为 （ ）
A．-1 B． +1 C． 2+2 D． 2-2
7． 设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．（文）实数满足
则
的值为 （ ）
A．8 B．-8
C．8或-8
D．与
无关
（理）已知
之间的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．的关系随c而定
9．（文）若函数
是奇函数，且在（
），内是增函数，
，则不等式
的解集为 （ ）
A．
B．
C．
D．
（理）若是偶函数，且当
的解集是（ ）
A．（－1，0） B．（－∞，0）∪（1，2）
C．（1，2） D．（0，2）
10．若不等式x2＋ax＋1³0对于一切xÎ（0，
）成立，则a的取值范围是 （ ）
A．0
B． –2
C．-
D．-3
11．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为 （ ）
A．200件 B．5000件 C．2500件 D．1000件
12．不等式
对满足
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B． 
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．
13．（文）b克盐水中，有a克盐（
），若再添加m克盐（m>0）则盐水就变甜咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 .
（理）已知三个不等式①ab>0 ② 
> 
③bc>ad 以其中两个作条件余下一个作结论，则可组 个正确命题.
14．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算，即a*b=
，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数，a、b、c都能成立的一个等式可以是_________.
15．设a＞0，n
1，函数f (x) =alg(x2-2n+1)
有最大值.则不等式logn（x2-5x+7）＞0的解集为__
_.
16．已知
则不等式
≤5的解集是
____ .
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）（文科做）比较下列两个数的大小：
（1）
（2）
；
（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明
（理科做）已知：
，
试比较M，N的大小：你能得出一个一般结论吗？
18．（本小题满分12分）已知实数P满足不等式
判断方程
有
无实根,并给出证明.
19．（本小题满分12分）（文科做）关于x的不等式组
的整数解的集合为{－2}，求实质数k的取值范围.
（理科做）若是定义在
上的增函数，且对一切
满足
.
（1）求
的值;
（2）若
解不等式
.
20．（本小题满分12分）某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．
（1）把房屋总造价
表示成
的函数，并写出该函数的定义域.
（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？
21．（本小题满分12分）（文科做）设
求证：
（理科做）设
（1）证明A>
;
（2）
22． （本小题满分14分）（2006年广东卷）A是由定义在
上且满足如下条件的函数
组成的集合：①对任意
，都有
； ②存在常数
，使得对任意的
，都有
（1）设
，证明：
;
（2）设,如果存在
,使得
,那么这样的
是唯一的;
（3）设,任取
,令
证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式
.
参考答案（5）
1．B．命题是命题等号成立的条件，故选B．
2．C．恒成立的意义化为不等式求最值,
,验证,2不满足,4满足,选C．
3．（文）B．命题p假,取a=-1,b=1可得；命题q真，由
得
（理）B．由偶函数得
，由函数递增性得
又
．
4．（文）Ｃ． ①正确,②错误,③错误,④正确．
（理）C． 
5．（文）B．取x=2时
不成立,充分性不正确,由可推得
,必要性正确
（理）C． 取
时
取
时
充分性不成立,必要性成立由一次函数思想
6．D．因为
,故
＋4ab+4ac+2bc
4
+4ab+4ac+4bc
= 4[a（a+b+c）+bc]=4[4-2
],又a,b,c>0,故上式两边开方得,2a+b+c
=2
=2-2,故选D．
7．C．因为
，所以（A）恒成立；
在B两侧同时乘以
得
所以B恒成立；
在C中，当a>b时，恒成立，a<b时，不成立；
在D中，分子有理化得
恒成立，故选C．
8．（文）A． 由条件
取绝对值得8．
（理）C． x =
,y=
，∴x<y．
9．（文）D．由题意作
的图象由图象易得
（理）D．由题意作的图象由图象易得
10．C．设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝
,若³，即a£－1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）³0Þ－£x£－1
若£0，即a³0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝1>0恒成立，故a³0
若0££，即－1£a£0，则应有f（）＝
恒成立，故－1£a£0． 综上，有－£a,故选C ．
11．D．设每次进x件费用为y由
时最小
12．D．变形
则
．
13．（文）
．提示:由盐的浓度变大得．
（理）3个，由不等式性质得：
, 
14．a+(b*c)=(a+b)*(a+c)，(a*b)+c=(a*c)+(b*c)，
a*(b+c)=(a+b)*c=(b+c)*a=(a+c)*b(a*b)+c=(b*a)+c等．
填出任何一个都行． 答案 不唯一．
提示:∵a+(b*c)=a+
=
=
= (a+b )*( a+c),其余类似可得
15．
.由于f（x）有最大值,故0
,所以原不等式转化为0
-5x+7<1,
又因为
恒成立,故只需1
成立即可,
解之得, ．
16．
．分类⑴
原式成立 ⑵
化为
综上得
17．（文）（1）
,（2）
（3）一般结论：若
成立
证明 欲证
成立
只需证
也就是
（
）
故
（理）解先考查两个变量的情形
（1-a）(1-b)=1-a-b+ab≥1-a-b 当且仅当a、b中至少有1个为零时,等号成立
∴(1-a)(1-b)(1-c) ≥(1-a-b)(1-c)=1-a-b-c+c(a+b) ≥1-a-b-c 当且仅当a、b、c中至少有2个为零时,等号成立 于是(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)≥1-a-b-c-d, 当且仅当a、b 、c、d 中至少有3个为零时,等号成立 ∴a、b、c、d至少有3个为0时,M=N,否则M>N ．
18．解由
方程
的判别式
∴方程无实根
19．（文）解：不等式
的解集为
不等式
可化为
由题意可得
不等式组的整数解的集合为{－2} 
．
（理）（1）
（2）
即
上的增函数
．
20．（1）由题意可得，
（2）
=13000
当且仅当
即
时取等号。
若
，时，有最小值13000。
若
任取
在
上是减函数
．
21．（文）
．
。
（理）（1）A
=
（2）
．
∴
22．解：对任意,
,
,
,所以,对任意的，
，
，所以
0<
,令=
，
，
,所以．
反证法:设存在两个
使得,
则
由
，得
，所以
，矛盾，故结论成立。
，所以
+…
．
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