2006－2007学年度上学期
高中学生学科素质训练
高三数学第一轮复习单元测试（7）—圆锥曲线
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1．若椭圆经过原点,且焦点为
,则其离心率为 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知双曲线
,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离
之比等于 （ ）
A．
B．
C． 2 D．4
4．与
轴相切且和半圆
内切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A．
B．
C．
D． 
5．直线
与曲线
的公共点的个数为 （ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
6．如果方程
表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 （ ）
A．
B． 
C． 
D． 
7．曲线
与曲线
的 （ ）
A．焦距相等 B．离心率相等 C．焦点相同 D．准线相同
8．双曲线
的虚轴长是实轴长的2倍，则
（ ）
A．
B． C． D．
9．设过点
的直线分别与
轴的正半轴和轴的正半轴交于
、
两点，点
与点
关于轴对称，
为坐标原点，若
，且
，则点的轨迹方程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．抛物线
上的点到直线
距离的最小值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知抛物线
上一定点
和两动点
当
是,点的横坐标的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D． 
12．椭圆
上有
个不同的点:
,椭圆的右焦点为
,数列
是公差大于
的等差数列,则的最大值为 （ ）
A．199 B．200 C．198 D．201
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
13．椭圆
的两个焦点为
,点在椭圆上.如果线段
的中点在轴上,那么
是
的______________倍.
14．如图把椭圆
的长轴AB分成8等
分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部
分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的焦点,则P1F+P2F+…+P7F= .
15．要建造一座跨度为16米,拱高为4米的抛物线拱桥,建桥时,每隔4米用一根柱支撑,两边的柱长应为____________.
16．已知两点
,给出下列直线方程:①
;②
;③
.则在直线上存在点满足
的所有直线方程是_______.(只填序号)
三、解答题(本大题共6小题, 共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为
，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以
轴为对称轴、
为顶点的抛物线的实线部分，降落点为
. 观测点
同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在
轴上方时，观测点
测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天
器发出变轨指令？
18．（本小题满分12分）已知三点P（5，2）、
（－6，0）、
（6，0）。
（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为
、
、
，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程.
19．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是
(
为大于0的常数).
（1）求椭圆的方程;
（2）设是椭圆上一点,且过点
的直线
与轴交于点
,若
,求直线的斜率.
20．（本小题满分12分）已知点
分别是椭圆
长轴的左、右端点,点是椭圆的右焦点.点在椭圆上,且位于轴的上方,
.
（1）求点的坐标;
（2）设椭圆长轴
上的一点, 到直线
的距离等于
,求椭圆上的点到点的距离
的最小值.
21．（本小题满分12分）已知抛物线
,是否存在过点
的弦,使恰被平分.若存在,请求所在直线的方程;若不存在,请说明理由.
22．（本小题满分14分）设
,
为直角坐标平面内
轴正方向上的单位向量,若向量
,
,且
.
（1）求点
的轨迹
的方程;
（2）过点(0,3)作直线与曲线交于两点,设
,是否存在这样的直线,使得四边形
是矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在,试说明理由.
答案与解析（7）
1．C
. 原点到的距离之和是长轴长
,又
,所以椭圆的离心率
.
2．D
. 椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则
，故选D．
3．答案选C 依题意可知 
，
，故选C．
4．A
设动圆圆心为,动圆与已知半圆相切的切点为
,点到轴的距离为,则有
,而
,所以
,化简得.
5．D．将代入得：
，显然该关于
的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4 个，故选择答案D．
6．D．由题意知,
.若
,则双曲线的焦点在轴上,而在选择支A,C中,椭圆的焦点都在轴上,而选择支B,D不表示椭圆;
若
,选择支A,C不表示椭圆,双曲线的半焦距平方
,双曲线的焦点在轴上,选择支D的方程符合题意.
7．A．由
知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由
知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A．
8．A . 一看带参，马上戒备：有没有说哪个轴是实轴？没说，至少没有明说。分析一下，因为等号后为常数“+”，所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y2的系数为“+”，所以这个双曲线是“立”着的。接下来排除C、D两过于扯淡的选项 —— 既然说是双曲线，“x2”与“y2”的系数的符号就不能相同.在接下来是一个“坑儿”：双曲线的标准形式是
或
（
），题目中的双曲线方程并不是标准形式，所以要变一下形儿，变成
。由题意，半虚轴长的平方：半实轴长的平方 = 4.即
，所以
。选A．当然，我们也可以不算，只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案A圈出来
9．D．由
及
分别在轴的正半轴和轴的正半轴上知，
，
，由点与点关于轴对称知，
，
=
，则
10．A
.抛物线上任意一点（
，
）到直线的距离
.因为
，所以
恒成立.从而有
，
.选A．
11．D
.由题意知,设
,又因为,由知,
,即
,也就是
,因为
,所以上式化简得
,由基本不等式可得
或
.
12．D
. 由题意知,要使所求的最大,应使
最小,
最大,又为椭圆的右焦点,设
的横坐标为
故由第二定义可得,
,其中
,所以当
时, 
,当
时, 
最大.由等差数列的通项公式可得, 
,即
,又因为
,解得
.
13．7倍.
由已知椭圆的方程得
.由于焦点
关于轴对称,所以
必垂直于轴.所以
,所以
.
14．35. 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P7(x7,y7),所以根据对称关系x1+x2+…+x7=0,于是
P1F+P2F+…+P7F=a+ex1+a+ex2+…+a+ex7=7a+e(x1+x2+…+x7)= 7a=35,所以应填35.
15．1米. 由题意知,设抛物线的方程为
,又抛物线的跨度为16,拱高为4,所以点(8,-4)为抛物线上的点,所以
.即抛物线方程为
.所以当
时,
,所以柱子的高度为1米.
16．②③. 由
可知点在双曲线
的右支上,故只要判断直线与双曲线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为
,直线①过原点且斜率
,所以直线①与双曲线无交点;直线②与直线①平行,且在轴上的截距为
故与双曲线的右支有两个交点;直线③的斜率
,故与双曲线的右支有一个交点.
17
．（1）设曲线方程为
，
由题意可知，
.
.
曲线方程为
.
（2）设变轨点为
，根据题意可知
得 
，
或
（不合题意，舍去）. 
.
得 
或
（不合题意，舍去）. 
点的坐标为
，
.
答：当观测点测得
距离分别为
时，应向航天器发出变轨指令.
18．（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为
+
，其半焦距
。
， ∴
，
，故所求椭圆的标准方程为
+
；
（2）点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：
、
（0，-6）、
（0，6）
设所求双曲线的标准方程为
-
，由题意知半焦距
，
， ∴
，
，故所求双曲线的标准方程为
-
.
19．（1）设所求椭圆方程为:
.由已知得:
,所以
.故所求椭圆的方程为:
.
（2）设
,直线
,则点
.当
时,由于
.由定比分点坐标公式,得
,
.又点在椭圆上,所以
,解得
.当
时,
,
.于是
,解得
.故直线的斜率为0或
.
20．（1）由已知可得点
, 设点
,则
,
,由已知可得
.则
解得
.由于
,只能
于是
. 所以点P的坐标是
.
（2）直线的方程是
.设点
,则到直线的距离是
. 于是
,又
,解得
. 椭圆上的点
到点的距离有
,由于
,所以当
时,取得最小值
.
21．假设存在这样的直线,则直线的斜率一定存在,设为
,点
在抛物线上,所以
,两式作差得,
,即
,解得
,故直线方程为
,即
.经验证,直线符合条件.
22．（1）由,得
,设
则动点满足
,所以点在椭圆上,且椭圆的
.所以轨迹的方程为
.
（2）设直线的斜率为,则直线方程为
,联立方程组
消去 得:
,
恒成立,设,则
.由
,所以四边形为平行四边形.若存在直线,使四边形为矩形,则
,即
,解得
,所以直线的方程为
,此时四边形为矩形.
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