2006－2007学年度上学期
高中学生学科素质训练
高三数学第一轮复习单元测试（4）—《平面向量》
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，
则向量
（
）
A．
B．
C．
D．
2．与向量a=
的夹解相等，且模为1的向量是 （ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
3．设
与
是两个不共线向量，且向量
与
共线，则
= （ ）
A．0 B．－1 C．－2 D．0.5
4．已知向量
，
是不平行于
轴的单位向量，且
，则= （ ）
A．
B．
C．
D．（1，0）
5．如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量
的数量积中最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在
中，
，
，
是
边上的高，若
，则实数等
于 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．设
，
，则满足条件
，
的动点P的
变化范围（图中阴影部分含边界）是 （ ）
 |
A． B． C． D．
8．将函数f(x)=tan(2x+
)+1按向量a平移得到奇函数g(x)，要使a最小，则a=（ ）
A．（
） B．（
） C．（
） D．（
）
9．已知向量
、
、
且
，
，
，
.设与的夹角为
，
与的夹角为
，与的夹角为
，则它们的大小关系是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知向量
，
，其中
.若
，则当
恒成立时实数的取值范围是 （ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
11．已知
，
，
，点C在
内，且
，设
，则
等于 （ ）
A．
B．3 C．
D．
12．对于直角坐标平面内的任意两点
，
，定义它们之间的一种“距离”：
给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则
②在
中，若
则
③在中，
其中真命题的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．在 ABCD中，
，M为BC的中点，则
_______.（用
表示）
14．已知
为坐标原点，动点
满足
，其中
且
，则的轨迹方程为
.
15．在ΔABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则
的最小值为
.
16．已知向量
，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）已知向量
，
.（1）若
，试判断
与
能否平行？（2）若
，求函数
的最小值.
18．（本小题满分12分）（2006年湖北卷）设函数
，其中向量
，
.
（1）求函数
的最大值和最小正周期；
（2）将函数
的图像按向量
平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.
19．（本小题满分12分）（2006年全国卷II）已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，
－＜θ＜．
（1）若a⊥b，求θ；
（2）求｜a＋b｜的最大值．
20.（本小题满分12分）在
中，
．
（1）求
的值；
（2）当的面积最大时，求
的大小．
21．（本小题满分12分）（2006陕西卷）如图，三定点A(2,1)，B(0,－1)，C(－2,1); 三动点D，E，M满足
（1）求动直线DE斜率的变化范围;
（2）求动点M的轨迹方程.
22．（本小题满分14分）已知点
是圆
上的一个动点，过点作
轴于点
，设
.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求向量
和
夹角的最大值，并求此时点的坐标
 |
参考答案（4）
1．
，故选A．
2．B 设所求向量
=（cos
,sin）,则由于该向量与
的夹角都相等,故
3cos=-4sin,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B选项成立,故选B．
3．D 依题意知向量与
共线，设
（），则有
，所以
，解得
，选D．
4．解选B．设
，则依题意有
5．解析:利用向量数量积
的几何意义:数量积
等于
的长度
与
在的方向上的投影
的乘积.显然由图可知
在方向上的投影最大.所以应选(A).
6．B 
即得
又
是边上的高，
即
，整理可得
即得
，故选B．
7．A 设P点坐标为
，则
.由
，
得
，在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组表示的平面区域即可，选A．
8．A 要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)=tan(2x+)+1的图象向下平移1个单位，再向右平移
个单位.即应按照向量
进行平移.要使a最小，应取a=（），故选A．
9．B 由得
，两边平方得
，将，，代入得
，所以
；同理，由得
，可得
，
，所以.
10． B 由已知得
，所以
，因此
，由于恒成立，所以
，解得或.
11．答案B∵ ，，
∴△ABC为直角三角形，其中
∴
∴
即
故本题的答案为B．
12．答案B取特殊值、数形结合
在中， 
，不妨取A（0，1）， C（0，0），B（0，1），则
∵
∴ 
、
、
此时
、
、
；
即命题②、③是错误的.
设如图所示共线三点
，
，
，则
＝
＝
∴ 即命题①是正确的.
综上所述，真命题的个数1个，故本题的答案为B．
13．解：
，
，所以
.
14．
设
，则
，又
，所以由
得
，于是
，由
消去m, n得的轨迹方程为：.
15．
如图，设
，则
，所以
，
故当
时，取最小值-2.
16．
因为
，所以
.由于点A、B、C能构成三角形，所以
与
不共线，而当与共线时，有
，解得
，故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是.
17．解析：（1）若与平行，则有
，因为
，
，所以得
，这与
相矛盾，故与不能平行.
（2）由于
，又因为
，所以
， 于是
，当
，即
时取等号.故函数
的最小值等于
.
18．解：（Ⅰ）由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+
sin(2x+
).
所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是
＝
.
（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝
,k∈Z，
于是d＝（，－2），
k∈Z.
因为k为整数，要使
最小，则只有k＝1，此时d＝（―
，―2）即为所求.
19．解析：解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，
由此得 tanθ＝－1(－＜θ＜)，所以 θ＝－；
（Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得
｜a＋b｜＝＝
＝，
当sin(θ＋)＝1时，a＋b取得最大值，即当θ＝时，a＋b最大值为＋1．
20．解：（Ⅰ）由已知得：
因此，
．
（Ⅱ）
， 
．（当且仅当
时，取等号），
当的面积取最大值
时，
，所以
.
解：（I）由条件知： 
且
，
设
夹角为
，则
，
，故的夹角为
，
（Ⅱ）令
的夹角为
，
的夹角为
.
21．解析：如图，（Ⅰ）设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t, = t ,
知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2). ∴ 同理 .
∴kDE = = = 1－2t.
∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[－1,1].
（Ⅱ） 如图, =+ = + t
= + t(－) = (1－t) +t,
=+ = +t = +t(－)
=(1－t) +t,
= += + t= +t(－)=(1－t) + t
= (1－t2) + 2(1－t)t+t2 .
设M点的坐标为(x,y),由=(2,1), =(0,－1), =(－2,1)得
消去t得x2=4y, ∵t∈[0,1], x∈[－2,2].
故所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2]
22．解析：（1）设
，，则
，
，
.
（2）设向量与的夹角为
，则
，
令
，则
，
当且仅当
时，即点坐标为
时，等号成立.
与夹角的最大值是
.
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