2006－2007学年度上学期
高中学生学科素质训练
高三数学第一轮复习单元测试（2）— 《数列》
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若互不相等的实数
、
、
成等差数列，、、成等比数列，且
，
则= （ ）
A．4 B．2 C．－2 D．－4
2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．在等差数列
中，已知
则
等于 （ ）
A．40 B．42 C．43 D．45
4．在等差数列｛an｝中，若aa+ab=12，SN是数列｛an｝的前n项和，则SN的值为 （ ）
A．48 B．54 C．60 D．66
5．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝ （ ）
A． B． C． D．
6．设是公差为正数的等差数列，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若
，且A、B、C三点共线
（该直线不过原点O），则S200＝ （ ）
A．100 B．101 C．200 D．201
8．在等比数列中，
，前
项和为
，若数列
也是等比数列，则等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设
，则
等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有 （ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
11．设数列
的前n项和为，令
，称
为数列
，
，……，
的“理想数”，已知数列，，……，
的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为 （ ）
A．2002 B．2004 C．2006 D．2008
12．一给定函数
的图象在下列图中，并且对任意
，由关系式
得到的数列
满足
，则该函数的图象是
 |
A B C D
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．数列｛an｝中，若a1=1，an+1=2an+3 （n≥1），则该数列的通项an= .
14．
.
15．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某
商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正
三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，
就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第
一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一
层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，
第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则
；
（答案用n表示）.
16．已知整数对排列如下
，
则第60个整数对是_______________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
数列{an}的前n项和记为Sn，
（1）求{an}的通项公式;
（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且
，又
成等比数列，求Tn
18．（本小题满分12分）
设数列
、
、
满足：
，
（n=1，2，3，…），
证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且
（n=1，2，3，…）
19．（本小题满分12分）
已知数列
，其中
是首项为1，公差为1的等差数列；
是公差为
的等差数列；
是公差为
的等差数列（
）.
（1）若
，求；
（2）试写出
关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得
是公差为
的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
20．（本小题满分12分）
某市去年11份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.
21．（本小题满分12分）
等差数列中，，公差
是自然数，等比数列
中，
．
（Ⅰ）试找出一个的值，使的所有项都是中的项；再找出一个的值，使 的项不都是中的项（不必证明）；
（Ⅱ）判断
时，是否所有的项都是中的项， 并证明你的结论；
（Ⅲ）探索当且仅当取怎样的自然数时，的所有项都是中的项，并说明理由．
22．（本小题满分14分）
已知数列{}中，
（n≥2，
），
（1）若
，数列
满足
（），求证数列{
}是等差数列；
（2）若，求数列{}中的最大项与最小项，并说明理由；
（3）（理做文不做）若
，试证明：
．
参考答案（2）
1．D．依题意有
2．C． 
，故选C．
3．B． ∵等差数列中，
∴公差
．
∴
＝
＝42．
4．B． 因为
，所以
=54，故选B．
5．A． 由等差数列的求和公式可得
且
所以
，故选A．
6．B．
，
，
将
代入，得
，从而
.选B．
7．A． 依题意，a1＋a200＝1，故选A．
8．C．因数列为等比，则
，因数列也是等比数列，则
即
，所以
，故选择答案C．
9．D． f（n）=
，选D．
10．B． 正四面体的特征和题设构造过程，第k层为k个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为
则前k层共有
，k最大为6，剩4，选B．
11．A．认识信息，理解理想数的意义有，
，选A．
12．A．函数认识数列 
，则函数在
上为凸函数，选A．
13．由
，即
=2，所以数列｛
＋3｝是以（
+3）为首项，以2为公比的等比数列，故＋3=（+3）
，=
－3.
14．由
，整体求和所求值为5．
15．
的规律由
，所以
所以
16．观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n为的
n－1个，于是，借助
估算，取n=10，则第55个整数对为
，注意横
坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为
17．（1）由
可得
，两式相减得
又
∴
故{an}是首项为1，公比为3得等比数列 ∴
.
（2）设{bn}的公差为d，由得，可得
，可得
，
故可设
又
由题意可得
解得
∵等差数列{bn}的各项为正，∴
，∴
∴
18．
必要性：设数列是公差为
的等差数列，则：
=
=－=0，
∴
（n=1，2，3，…）成立；
又
=6（常数）（n=1，2，3，…）
∴数列为等差数列.
充分性：设数列
是公差为
的等差数列，且（n=1，2，3，…），
∵……① ∴
……②
①－②得：
=
∵
∴
……③ 从而有
……④
④－③得：
……⑤
∵
，
，
，
∴由⑤得：
（n=1，2，3，…），
由此，不妨设
（n=1，2，3，…），则
（常数）
故
……⑥
从而
……⑦
⑦－⑥得：
，
故
（常数）（n=1，2，3，…），
∴数列为等差数列.
综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1，2，3，…）.
19．（1）
.
（2）
， 
，
当
时，
.
（3）所给数列可推广为无穷数列
，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当
时，数列
是公差为
的等差数列.
研究的问题可以是：试写出
关于的关系式，并求的取值范围.
研究的结论可以是：由
，
依次类推可得 
当
时，
的取值范围为
等.
20．设第n天新患者人数最多，则从n+1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n天流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n项和，
，而后30－n天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为
，公差为30，项数为30－n的等差数列的和，
依题设构建方程有，
化简，
或
（舍），第12天的新的患者人数为 20+（12－1）·50=570人.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为570人.
21．（1）
时，的项都是中的项；（任一非负偶数均可）;
时，的项不都是中的项．（任一正奇数均可）;
（2） 时，
的项一定都是中的项
（3）当且仅当取
（即非负偶数）时，的项都是中的项．
理由是：①当
时，
时，
，其中
是
的非负整数倍，设为
（
），只要取
即（
为正整数）即可得
，
即的项都是中的项；②当
时，
不是整数，也不可能
是的项．
22．（1）
，而
，∴
．
∴{}是首项为
，公差为1的等差数列．
（2）依题意有
，而
，
∴
.对于函数
，在x＞3.5时，y＞0，
，在（3.5，
）
上为减函数. 故当n＝4时，
取最大值3. 而函数
在x＜3.5时，y＜0，
，在（
，3.5）上也为减函数．故当n＝3时，取最小值，
＝－1.
（3）先用数学归纳法证明
，再证明
. ①当
时，成立；
②假设当
时命题成立，即
，当
时，
故当时也成立，
综合①②有，命题对任意
时成立，即.
（也可设
（1≤
≤2），则
，
故
）.
下证：
.
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