冷水江市一中2007届高三第十次模拟考试
理科数学试卷
命题：杨玉林 审题：李康华
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分
1．定义运算
，则符合条件
（
为虚数单位）的复数
为 （ ）
A、
B、
C、
D、
|
2．一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，
则不同的参观路线种数共有 （ ）
A．48种 B．36种
C．12种 D．6种
3．在△ABC中，tanA是第3项为－4、第7项为4的等差数列的公差，tanB是第3项为
，第6项为9的等比数列的公比，则△ABC是
（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
4．若两个函数的图像经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．
给出下列三个函数：
，
，
，
则 ( )
Ａ．
为“同形”函数
Ｂ．
为“同形”函数，且它们与
不为“同形”函数
Ｃ．
为“同形”函数，且它们与
不为“同形”函数
Ｄ．
为“同形”函数，且它们与
不为“同形”函数
5、已知
为
的垂心，下列结论一定成立的是
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
6．设f（x）是定义在R上的偶函数，当x>0时，f（x）+x
>0，且f（1）=0，则不等式x·f（x）>0的解集为 （
）
A．（－
，－1）∪（1，+） B．（－1，0）∪（0，1）
C．（－1，0）∪（1，+）
D．（－，－1）∪（0，1）
7．在长方体
中，
，点
分
别在棱
、
上滑动，且线段
的长恒等于2，则线段的中点
的轨迹是
（ ）
A、圆的一部分 B、椭圆的一部分
C、双曲线的一部分 D、抛物线的一部分
8．已知函数
的反函数
的图象的对称中心是（b，3），则不等式
的解集是
（ ）
A．（-3，4） B．
C．（2，3） D．
9．如图，过抛物线
的焦点F的直线
交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若
，且
，则此抛物线的方程为
( )
A．
B．
C．
D．
10．设M是
m、n、p分别是
的最小值是
（ ）
A．8 B．9 C．16 D．18
二、填空题:本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上
11．设
，
则
+
＝
.
12．设数列
满足
，且
，
求 
=
13．正三棱锥S—ABC内接于球O，且球心O在平面ABC上.若正三棱锥A—ABC的底面边
| |
14．定义
，设实数
满足约束条件
，
，则的取值范围是
15．设函数
，给出下列四个命题
①若c=0，则f（x）为奇函数；
②若b=0，c>0，则方程f（x）=0只有一个实根；
③函数y= f（x）的图象关于点（O，C）成中心对称图形；
④关于x的方程f（x）=0最多有两个实根.
其中正确的命题是
三、解答题:本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
在一次语文测试中, 有道把我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目, 每连对一个得3分, 连错不得分, 一位同学该题得ξ分.
(1)求该同学得分不少于6分的概率;
(2)求ξ的分布列及数学期望.
17. (本小题满分12分)
已知A、B、C为△ABC的三内角，其对边分别为a、b、c．
若＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，a＝2，且·＝．
（1）若三角形ABC的面积S＝，求b＋c的值；
（2）求b＋c的取值范围．
18．（本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，3AD=DC=3，AB=2，E是DC上一点，满足DE=1，连接AE，将△DAE沿AE折起到△D1AE的位置，使得∠D1AB=60°，设AC与BE的交点。
（1）判断平面D1AE与平面ABCE是否垂直？并说明理由．
（2）求异面直线OD1与AE所成角的余弦值；
19．（本小题满分12分）
已知“接龙等差”数列
构成如下：
， 
是公差为
的等差数列；
是公差为
的等差数列；
是公差为
的等差数列；
；
是公差为
的等差数列（
）；其中
．
（１） 若
，求；
（2） 设
．求
；
（３） 当
时，证明对所有奇数
总有
．
20．（本小题满分13分）
如图
为双曲线E的两焦点，以F1F2为直径的圆O与双曲线E交于M、N、M1、N1，B是圆O与y轴的交点，连接MM1与OB交于H，且H是OB的中点，
|
（2）试证：对任意的正实数c，双曲线E的
离心率为常数； （4分）
（3）连接F1M与双曲线E交于点A，是否存在
常数
恒成立，若存在试求出
的值；若不存在，请说明理由。 （5分）
21．（本小题满分14分）
已知函数
（1）
的根，β是方程xex =2007的根，求α
β的值。
（4分）
（2）求证：在区间（1，
）上，函数
图象在函数
图象的下方；（5分）
（3）设函数
，求证：
≥
．
（5分）