重点中学高三联考数学试卷

江苏省宿迁市部分重点中学高三联考数学试卷2007.4.22

本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I卷(选择题 共50分)

一、选择题：本大10小题题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的

1、已知数列，“对任意的都在直线上”是“为等差数列”的（　　 ）

A．充分而不必要条件　　B．必要而不充分条件　　 C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件

2．曲线在区间上截直线与所得的弦长相等且不为0，则下列对的描述正确的是------------------------------------------------------（　A　 ）

A．　　　　 B．　　　　C．　　　　D．

3．从6人中选出4人参加数学、物理、化学、英语比赛，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加英语比赛，则不同的参赛方案的种数共有---------------------------------------------------------------（ C　　）

　　　 A．96　　　　　　　　　　　　　B．180　　　　　　　　　　 C．240　　　　　　　　　　　　D．288

4．在△ABC中，已知的值为-------------------------------（ D 　 ）

　　　 A．－2　　　　　　　　　　　　B．2　　　　　　　　　　　　C．±4　　　　　　　　　　　　D．±2

5．已知实数x、y满足的最大值为------------------------------------------（ A　　）

　　　 A．　　　　 B．　　　　  C．6　　　　　  D．12

6．设O为坐标原点，M（2，1），点N（x，y）满足，则的最大值为-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ C　　）

A．3 　　　　　　　　　　　　　　 B． 　　　　　　　　　　　　　C． 12　　　　　　　　　　　　　 D．

7．从1到100这100个整数中任取两个数,则所取的两数和为偶数的概率为-------------------( 　D 　)

（A） 　　　　　　　 （B）　　　　　　 （C）　　　　　　　　 （）

8．已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F₁、F₂，抛物线C以F₁为顶点，F₂为焦点，P为两曲线的一个交点，若，则e的值为-----------------------------------------------------------------------------（  A　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　B．　　 　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　　　D．

9．已知不等式,若对任意及该不等式恒成立，则实数的取值范围是-----------------------------------------------------------------------------------(　 C  )

（A）　　　　（B）　　　　  （C）　　　　（D）

10.如右图所示，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD.点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为( A )

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题6小题，每小题5分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡的相应位置上

11.设a,b为实数，集合M={，1}，N={a,0},f : xx表示集合M的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b= 　　　　1　  

12．已知d为抛物线y=2ax²(a>0)的焦点到准线的距离，则ad的值等于　　　　

13.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合．若此时点C(7，3)与点D(m，n)重合，则m＋n的值是　　．

14．设函数在区间上的最大值为8，则在区间上的最小值为________-4________.

15．已知函数的值为_______________.

16．已知映射,其中,对应法则若对实数,在集合A中不存在原象,则的取值范围是 　　　　　　 ；

三、解答题：本大题共5小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分, 第1小题满分5分，第二小题满分7分）在锐角三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（成都）

　 （I）若，求A、B、C的大小；

　 （II）已知向量的取值范围.

解：由已知

　　　

　　　 …………………………………………………………3分

　 （I）由已知

　　　

　　　 ……………………………………………………3分

　 （II）3m－2n²=9 m ²+4n²－12 m·n =13－12（sinAcos B +cosAsin B）

　　　　　　　  =13－12sin(A+B)=13－12sin（2 B +）.………………………3分

　　　 ∵△ABC为锐角三角形，A－B=，

　　　 ∴C=π－A－B<，A=+B<.

　　　

　　　 …………………………………………………………2分

　　　 ∴3m－2n²=∈（1，7）.

　　　 ∴3m－2n的取值范围是（1，）.…………………………………………1分

18．（本小题满分14分,第1小题满分6分，第二小题满分8分,）在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：

（1）乙连胜四局的概率；（2）丙连胜三局的概率．

解：（1）当乙连胜四局时，对阵情况如下：

　　第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜．

　　所求概率为＝×＝＝0.09

　　∴　乙连胜四局的概率为0.09．-----------------------------------------------------6分

　　（2）丙连胜三局的对阵情况如下：

　　第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜．

当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜．第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜．

当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜．

故丙三连胜的概率＝0.4××0.5＋（1-0.4）××0.6＝0.162．--------14分

19.（本小题满分14分，第一小问满分3分，第二小问满分5分，第三小问满分6分）

在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．

（1）求证：PA⊥平面ABCDE；

（2）求二面角A-PD-E的大小；

（3）求点C到平面PDE的距离． （南菁中学）

解：（1）证明∵PA=AB=2a，PB=2a,∴PA²+AB²=PB²，∴∠PAB=90°，即PA⊥AB．

同理PA⊥AE．3分∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE．　　　　　　　…………… 3分

（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．

∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．

∴ED⊥平面PAE．过A作AG⊥PE于G，

∴DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．

过G作GH⊥PD于H，连AH，

由三垂线定理得AH⊥PD．

∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．　　　　　　　　　  ………… 6分　　

在直角△PAE中，AG＝a．在直角△PAD中，AH＝a，

∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．∴∠AHG＝arcsin．

∴二面角A-PD-E的大小为arcsin．　　　　　　　　　　　　 …………… 8分

（3）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°,　 BC=DE=a,AB=AE=2a,

　 取AE中点F，连CF，

　 ∵AF∥=BC,　 ∴四边形ABCF为平行四边形．

　 ∴CF∥AB，而AB∥DE，　 ∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，

　 ∴CF∥平面PDE．　

∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．　　　……………10分

　 ∵PA⊥平面ABCDE，　 ∴PA⊥DE．　 又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．

　∴平面PAE⊥平面PDE．　　　　　　 　　　　　　　　

∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．

 ∴FG的长即F点到平面PDE的距离．　　 　　　　　　　　 ……………12分

　　 在△PAE中，PA=AE=2a，F为AE中点，FG⊥PE，

　 ∴FG=a． ∴点C到平面PDE的距离为a．　　　　　　 …………… 14分

20．（本题满分14分，第1小题满分6分，第二小题满分8分）已知函数f(x)=x+ x，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）

.

求证：当n时，

(Ⅰ)x

（Ⅱ）

解：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。

证明：（I）因为

所以曲线在处的切线斜率

因为过和两点的直线斜率是

所以.

（II）因为函数当时单调递增，

而

，

所以，即

因此

又因为

令

则

因为

所以

因此

故

21．（本小题满分16分，第一小问4分，第二小问满分6分，第三小问满分6分）

　　　设a为实数，设函数的最大值为g(a)。

　　（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)

（Ⅱ）求g(a)

（Ⅲ）试求满足的所有实数a

解：本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,

∴t≥0　　　　　　　　 ①

t的取值范围是由①得

∴m(t)=a()+t=

（2）由题意知g(a)即为函数的最大值。

注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。

当a>0时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段，

由<0知m(t)在上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2

(2)当a=0时，m(t)=t, ,∴g(a)=2.

(3)当a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，

若，即则

若，即则

若，即则

综上有

(3)解法一：

情形1：当时，此时，

由，与a<-2矛盾。

情形2：当时，此时，

解得， 与矛盾。

情形3：当时，此时

所以

情形4：当时，，此时，

矛盾。

情形5：当时，，此时g(a)=a+2,

由解得矛盾。

情形6：当a>0时，，此时g(a)=a+2,

由，由a>0得a=1.

综上知，满足的所有实数a为或a=1