浙江省五市2007年4月高三年级大联考试卷
数学理科 2007．4
本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I卷(选择题 共50分)
一、选择题：(本大10题小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。)
1.若全焦U={1，2，3，4}，A={1，2，3}，B={2，3}，则CU(A∩B)为
A.{1，4} B.{2，3} C.{1，2，3} D.{4}
2.已知数列{an}是等差数列，且a3+a11=50,又a4=13,则a2等于
A.1 B.4 C.5 D.6
3.由线
的中心到直线
的距离是
A.
B.
C.1 D.
4.设a，b∈R，a+bi=-
A.1 B.-1 C.-1或1 D.2
5.已知直线m,n和平面α,则m∥n的一个必要非充分条件是
A. m∥α、n∥α B.m⊥α、n⊥α C.m∥α、n
α D.m、n与α成等角
6.设a，b是两个非零向量，若8a-kb与-ka+b共线，则实数k值为
A.2
B.-2 C.±2 D.8
7.6个人站成前后二排，每排三人，其中甲不站在前排，乙不站在后排的站法种数为
A.72 B.216 C.360 D.108
8.已知函数y=f(x)的图象和y=sin(x+
)的图象关于点P(，0)对称，则f(x)的表达式是
A.cos(x+) B.-cos(x-) C.-cos(x+) D.cos(x-)
9.在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AB1内有一个动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等则动点P所在曲线的形状大致为
 |
10.直线l：Ax+By+C=0过一、二、四象限，坐标原点O(0，0)与点M(m,n)同在直线l的左下方，则Am+Bn+C的值
A.与A同号，与B同号 B.与A同号，与B异号
C.与A异号，与B同号 D.与A异号，与B异号
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
11.已知f(x)=
在(-∞，+∞)内连续，则常数a的值是 .
12.在120°的二面角内放一个半径为5的球，切两个半平面于A、B两点，
则这两个切点在球面上的球面距离是 .
13.已知函数f(x)的图象是两条直线的一部分，其定义域为
[-1,0]∪(0,1),则不等式f(x)-f(-x)>-1的解集是 .
14.某种细胞开始时有2个，一小时后分裂成4个并死去1个，两小时后分裂成6个并死去1个，三个小时后分裂成10个并死去1个，……按照这种规律进行下去，100小时后细胞的存活数是 .
三、解答题：(本大题共6小题，每小题14分，共84分。)
15.已知二次项系为m(m≠0)的二次函数f(x)对任意x∈R,都有f(1-x)=f(1+x)成立，设向量a=(sinx,2),b=)(2sinx,
),c=(cos2x,1),d=(1,2).
(1)分别求a·b和c·d的取值范围；
(2)当x∈[0，π]时，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集.
16.已知数列{an}的首项a1=1，其前n项和为Sn，且对任意正整数n,有n,an,Sn成等差数列
(1)求证：数列{Sn+n+2}成等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
17.某商家进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为
，若中奖商家返还顾客现金1000多元。小王购买一套价格为2400元的西服，只能得到2张奖券，于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3张奖券。设小王这次消费的实际支出为ζ(元)
(1)求ζ的所有可能取值；
(2)求ζ的分布列；
(3)求Eζ；
(4)试说明小王出资50元增加1张奖券是否划算？
18.已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=
，AB=BC=2AD=4，EF分虽是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)。
(1)当x=2时，求证：BD⊥EG；
(2)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x),求f(x)的最大值；
(3)当f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的正切值.
 |
19.已知点A(-5，0)，B(5，0)，动点P满足
8成等差数列
(1)求点P的轨迹方程；
(2)对于x轴上的点M，若满足
，则称点M为点P对应的“比例点”，求证：对任意一个确定的点P，它总对应两个“比例点”.
(3)当点P在(1)的轨迹上运动时，求它在(2)中对应的“比例点”M的横坐标的取值范围。
20.已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为(2，0)且f(x)在[-1,0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性
(1)求实数c的值；
(2)在函数f(x)图象上是否存在一点M(x0,y0)，使f(x)在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；不存在说明理由
参考答案
一、选择题(每小题5分)
| 小题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | A | C | A | B | D | C | B | B | C | D |
二、填空题(每小题4分)
11.2 12.
13.-1≤x<-或0<x≤1 14.2100+1
三、解答题(每小题14分，共84分)
15.解：(1)a·b=2sin2x+1≥1 c·d=cos2x+1≥1 ……6分
(2)∵f(x)= f(1+x) ∴f(x)图象关于x=1对称 ……1分
当m>0时，f(x)在(1，+∞)内单调递增，
由f(a·b)>f(c·d)
a·b>c·d,即2sin2x+1>2cos2x+1
又∵x∈[0，π] ∴x∈(
) ……3分
当m<0时，f(x)在(1，+∞)内单调递减，
由f(a·b)>f(c·d)a·b>c·d,即2sin2x+1>2cos2x+1
又∵x∈[0,π]∴x∈[0,
] ……3分
故当m>0时不等式的解集为()；当m<0时不等式的解集为[0,] ……1分
16.解：(1)∵n,an,Sn成等差数列 ∴2an=n+Sn
又an=Sn-Sn-1(n≥2)
∴2(Sn-Sn-1)=n+Sn 即Sn=2Sn-1+n
∴Sn+n+2=2Sn-1+2(n+1)=2[Sn-1+2(n-1)+2] 且S1+1+2=4≠0
∴{Sn+n+2}是等比数列 ……7分
(2)∵Sn+n+2=4·2n-1=2n+1 ∴Sn=2n+1-n-2
∴an=Sn-Sn-1=2n-1
又当n=1时，a1=S1=1=21-1 ∴an=2n-1 ……7分
17.解：(1)ζ的所有可能取值为2450，1450，450，-550. ……3分
(2)P(ζ=2450)=
P(ζ=1450)=C
P(ζ=450)=
P(ζ=-550)=C
ζ的分布列为
| ζ | 2450 | 1450 | 450 | -550 |
| P |
|
|
|
|
…………4分
(3)Eζ=2450×
+1450×
+450×
+(-550)×
=1850(元) ……3分
(4)设小王不出资50元增加1张奖券消费的实际支出为ζ1(元)
Eζ1=2400×
(元)
Eζ>Eζ1，故小王出资 50元增加1张奖券不划算. ……4分
18.(1)证明：过D作DH⊥EF于H，连BH，HG，则四边形BGHE为正方形，BH⊥EG,
∴BD⊥EG; ……4分
(2)解：f(x)=VD-FBC=
当且仅当x=2时取等号，所以f(x)的最大值为
……4分
(3)解：过H作HM⊥BF于M,连DM，则∠DMH为二面角D-BF-C的平面角的补角，
……2分
在△DHM中，DH=2，HM=
∴∠DHM= acrtan 
所求二面角D-BF-C的大小为-
……4分
19.解：(1)
(x≥4) ……6分
(2)证明：设P(x0,y0)(x0≥4),M(m,0)
∵e=
……3分
又∵
……2分
由
得m2-2mx0+7=0 ∴△=4x02-28≥64-28>0
∴对于点P它总对应两个比例点 ……3分
(3)∵2mx0=m2+7>0 又x0≥4 ∴m>0
∴2mx0≥8m ∴m2+7≥8m ∴m≥7或0<m≤1 ……3分
20.解：(1)因为f(x)在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，所以x=0是f(x)的一个极值点
∴f′(0)=0 ∴c=0 ……5分
(2)因为f(x)交x轴于点B(2,0)，所以8a+4b+d=0即d=-4(b+2a) ……2分
令f′(x)=0得3ax2+2bx=0,解得x1=0,x2=-
……2分
因为f(x)在[0，2]和[4，5]上有相反单调性，
所以-≥2且-≤4
即有-6≤
……2分
假设存在点M(x0,y0),使得f(x)在点M的切线率为3b，则f′(x0)=3b
即3ax02+2bx0-3b=0 所以△=4ab(
)
∵-6≤
故不存在点M(x0，y0),使得f(x)在点M的切钱斜率为3b ……3分
(其它解法参照以上解题要点给分)