山东省滨州市
2007年高三第四次复习质量检测
数学（理）试题
2007.5
考生注意：
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净扫，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数
（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若集合
”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．令
的展开式中含
项的系数，则数列
的前n项和为 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知三条不重合的直线m、n、l两个不重合的平面
，有下列命题
①若
；
②若
；
③若
；
④若
；
其中正确的命题个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．由曲线
和直线x=1围成图形的面积是 （ ）
A．3 B．
C．
D．
6．同时具有性质“①最小正周期是
，②图象关于直线
对称；③在
上是增
函数”的一个函数是 （ ）
A．
B．
C．
D．
|
则下列函数的图象错误的是 （ ）
A．
的图象 B．
的图象
C．
的图象 D．
的图象
8．圆
关于直线
对称，则ab的取值范
围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
|
（ ）
A．
B．
C．
D．
|
的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 （ ）
A．（1，+
） B．（1，2） C．（1，1+
） D．（2，1+）
11．设定义域为R的函数
满足下列条件：①对任意
；②对任意
，当
时，有
则下列不等式不一定成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行 线面组”的个数是 （ ）
A．60 B．48 C．36 D．24
|
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13．某企业三月中旬生产，A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计员制作了如下的统计表格：
| 产品类别 | A | B | C |
| 产品数量（件） | 1300 | ||
| 样本容量（件） | 130 |
由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是 件。
14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为 。
|
|
15．右边程序框图的程序执行后输出
的结果是 。
16．给出下列四个命题：
①命题“
”的否定是“
”；
②线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；
③若
，则不等式
成立的概率是
；
④函数
上恒为正，则实数a的取值范围是
。
其中真命题的序号是 。（填上所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共计74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
17．（本小题满分12分）
已知△ABC的面积S满足3≤S≤3
且
的夹角为
，
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求
的最小值。
18．（本小题满分12分）
一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。
（Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；
（Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分
的概率分布列及数学期望。
19．（本小题满分12分）
如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°。
（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；
（Ⅱ）求二面角D—A1A—C的平面角的余弦值；
|
20．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若函数的图象与函数
=1的图象在区间
上有公共点，求实数a的取值范围。
21．（本小题满分12分）
如图，O是坐标原点，已知三 点E（0，3），F（0，1），G（0，－1），直线L：y=－1，M是直线L上的动点，H、P是坐标平面上的动点，且
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
|
夹角为
，且
，求直线m斜率的取值范围.
22．（本小题满分14分）
对
所表示的平面区域为Dn，Dn内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列。
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）数列
时
.证明当
时，
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较
与4的大小关系。
参考答案
一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）
|
二、填空题（每小题4分，共4小题，满分16分）
13．800 14．
15．625 16．②④
三、解答题（本大题共6小题，满分74分）
17．解
（Ⅰ）由题意知
……………………3分
……………………4分
的夹角
……………………6分
（Ⅱ）
……………………9分
有最小值。
的最小值是
……………………12分
18．解：
（Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况
则
……………………4分
（Ⅱ）由题意，的可能取值为3、4、5、6。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为
……………………6分
的分布列为
|
| 3 | 4 | 5 | 6 |
| P |
|
|
|
|
……………………10分
|
=3×
+4×
+5×
+6×
=
…………12分
19．解：
连接BD交AC于O，则BD⊥AC，
连接A1O
在△AA1O中，AA1=2，AO=1，
∠A1AO=60°
∴A1O2=AA12+AO2－2AA1·Aocos60°=3
∴AO2+A1O2=A12
∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥
平面ABCD，
所以A1O⊥底面ABCD
∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A1（0，0，）
……………………2分
（Ⅰ）由于
则
∴BD⊥AA1……………………4分
（Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C
∴平面AA1C1C的法向量
设
⊥平面AA1D
则
得到
……………………6分
所以二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是
……………………8分
（Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP//平面DA1C1
设
则
得
……………………9分
设
则
设
得到
……………………10分
又因为
平面DA1C1
则
·
即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP……………………12分
法二：在A1作A1O⊥AC于点O，由于平面AA1C1C⊥平面
ABCD，由面面垂直的性质定理知，A1O⊥平面ABCD，
又底面为菱形，所以AC⊥BD
|
……………………4分
（Ⅱ）在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°
∴AO=AA1·cos60°=1
所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以
O也是BD中点
由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C
过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则AA1⊥DE
则∠DEO为二面角D—AA1—C的平面角
……………………6分
在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
∴AC=AB=BC=2
∴AO=1，DO=
在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=
DE=
∴cos∠DEO=
∴二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是……………………8分
（Ⅲ）存在这样的点P
连接B1C，因为A1B1
ABDC
∴四边形A1B1CD为平行四边形。
∴A1D//B1C
在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP……………………10分
因B1BCC1，……………………12分
∴BB1CP
∴四边形BB1CP为平行四边形
则BP//B1C
∴BP//A1D
∴BP//平面DA1C1
20．解：
（Ⅰ）
令
……………………2分
当
是增函数
当
是减函数……………………4分
∴
……………………6分
（Ⅲ）（i）当
时，
，由（Ⅰ）知
上是增函数，在
上是减函数
……………………7分
又当
时，
所以
的图象在上有公共点，等价于
…………8分
解得
…………………9分
（ii）当
时，
上是增函数，
∴
所以原问题等价于
又
∴无解………………11分