2007年潍坊市高三统一考试
数学试题（理工农医学）
本试卷第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至4页，第II卷5至11页，共150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题 共60分）
注意事项：
1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目铅笔涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面公式
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么 其中c表示底面周长，l表示斜高母线长
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的
概率是P，那么n次独立重复试验 其中R表示球的半径
中恰好发生k次的概率
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 
，若
为实数，则a的值为
A.0 B.1 C.2 D.不存在
2.集合
，定义一种运算
：若
，则
.那么预算可以是
A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法
3.设命题p,q为简单命题，则“
为真”是“
为真”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为
A. 
B.
C. 
D.
5.如图所示的程序图中，语句M(该语句M与i无关)将执行的次数为
A.23 B.24 C.25 D.26
6.下列函数的图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是
7.甲、乙两棉农，连续5年棉花产量（千克/亩）的统计数据用茎叶图表示如下：
则平均产量较高与产量较稳定的分别是
A.棉农甲；棉农甲 B.棉农甲；棉农乙
C.棉农乙；棉农甲 D.棉农乙；棉农乙
8.若
的展开式中第五项等于
，设
，则
等于
A. 
B.
C.
D. 
9.已知O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的三个点.一动点P满足
，则直线AP一定通过
的
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
10.在双曲线
中，过焦点且垂直于实轴的弦长为2，焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为
A. 
B.
C. 
D.
11.直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)始终平分圆
的周长，则
的最小值为
A.2 B.4 C.6 D.8
12.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，
若
且
，在有穷数列
中，任取前k 项相加，则前k 项和大于
的概率是
A. 
B. 
C.
D. 
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13.抛物线C的顶点坐标原点，对称轴为y轴， 若过点M（0，1）任作一条直线交抛物线C于
两点，且
，则抛物线C的方程为_____________
14.已知
，则
15.设
，若实数x、y满足条件
则点P（x,y）表示区域的面积为_____________
16.若f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x-2)=-f(x).给出下列四个结论：
①f(2)=0；
②f(x)是以4位周期的周期函数；
③f(x)的图象关于直线x=0对称；
④f(x+2)=f(-x).
其中正确结论的序号是_____________(把所有正确结论的序号都填上)
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
设函数
，其中a=(2cosx,1),b=(cosx, 
),
.
(I) 求f(x)的最大值；
（II）在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
求b、c的值.
18.（本小题满分12分）
学校举行某项活动的选拔考试，规定参选者从备选的10道试题中抽取3道题进行测试，至少答对2道题才能入选.已知学生甲能答对备选题中的6道题，学生乙能答对备选题中的8道题.
（I）求学生甲对答对试题数
的分布及数学期望；
（II）求学生甲、乙至少有一人入选的概率.
19.（本小题满分12分）
已知
，数列
的前n项和为
，点
在曲线y=f(x)上，且
.
（I）求数列的通项公式
；
（II）数列
的首项
，前n项和为
，且
.求数列的通项公式
.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA
平面ABCD，底面ABCD是直线梯形，
为直角，
G是
的重心，E为PB中点，F在线段BC上，且CF=2FB.
（I）证明：FG//平面PAB；
（II）证明：FGAC；
（III）求二面角P-CD-A的一个三角函数值，使得FG平面AEC
21.（本小题满分12分）
已知椭圆
的焦点在x轴上，其右顶点关于直线x-y+4=0的对称点在直线
l: 
上.
（I）求椭圆方程；
（II）过椭圆左焦点F的直线交椭圆于A、B两点，交直线l于点C，设O为坐标原点，且
，求
的面积.
22.（本小题满分14分）
定义在
的三个函数f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,g(x)= 
,且g(x)在[1，2]为增函数，h(x)在（0，1）为减函数.
（I）求g(x)，h(x)的表达式；
（II）求证：当1<x< 
时，恒有
（III）把h(x)对应的曲线
向上平移6个单位后得曲线
，求与g(x)对应曲线
的交点个数，并说明道理.
2007年潍坊市高三统一考试
数学试题（理工类）参考答案及评分标准
一、 选择题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题5分，共60分
BCADC BBADB BC
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分.
13. 
14. 
15. 
16.①②④
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
17.（本小题12分）
解 ：（I）由题意知
当
，即
时
（II）由（I）知
由余弦定理得
即
18.（本小题满分12分）
解：（I）依题意，学生甲答对试题数的可能取值为0、1、2、3，则
其分布列如下：
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
|
甲答对试题数的数学期望
（II）设学生甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
∵事件A、B相互独立，
∴甲、乙两人均不入选的概率为P（
）=
∴甲、乙两人至少有一人入选的概率为
19.（本小题满分12分）
解：（I）由题意知
∴
，即
成等差数列.
（II）由题设知
设
，则上式变为
∴
成等差数列
∴
当
时，
经验证n=1时也适合上式.
20.（本小题满分12分）
（I）连结CG延长交PA于M，连BM，
∵G为的重心，∴
又∵
.
又∵BM 
平面PAB，
(II) ∵
平面ABCD， 
由（I）知FG//BM，∴
（III）连EM，由（II）知
平面AEC的充要条件是
设
设PA=h ，则
∴当二面角P-CD-A的正切值为2时，
平面AEC……………….12分
21.（本小题满分12分）
解：（1）∵椭圆
的右顶点为（2，0），右顶点关于x-y+4=0对称点的坐标是
（-4，6）.
由已知得
∴
∴椭圆方程为
（III）由（I）知，直线l 的方程为x=-4.左焦点坐标为F（-1，0）
设
由题知直线AB的斜率存在，则设AB的方程为y=k(x+1),
由
得
①
②
由，得
代入①得
又把
②得
解得
∴
∴
22.（本小题14分）
（I）由题意：
∴
恒成立.
又
恒成立.
∴
即
（II）
欲证：
只需证：
即证：
记
∴
∴当x>1时，
为增函数…………….9分
即
∴结论成立………………………………………………..10分
（III）由 （1）知：
∴对应表达式为
∴问题转化成求函数
即求方程：
即：
设
∴当
时，
为减函数.
当
时，
为增函数.
而
的图象开口向下的抛物线
∴
与
的大致图象如图：
∴与的交点个数为2个.
即与的交点个数为2个.
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