雅礼中学2007届高三3月质检试卷
数学 (理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么 其中，c表示底面周长、l表示斜高或
P（A·B）=P（A）·P（B） 母线长
如果事件A在1次实验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复实验中恰好发生k
次的概率
其中R表示球的半径
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．复数
，
，且
的实部和虚部互为相反数，则实数
等于( )。
A．
B．
C．
D．
2．
( )。
A．
B．
C．
D．
3．若条件
，条件
，则
是
的( ) 条件。
A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．不充分不必要
4．已知平面
，直线
，点
，有下面四个命题：
①若
，则
与
必为异面直线；
②若
，则
；
③若
，则
；
④若
，则
。
其中正确命题的个数是( )。
A．
B．
C．
D．
5．一个篮球运动员投篮一次得分的概率为
，得分的概率为
，不得分的概率为
，
，已知他投篮一次得分的数学期望为
（不计其它得分情况），则
的最大值为( )。
A．
B．
C．
D．
6．已知等差数列
的前
项和为
，若
，且
三点共线（该直线不过点
），则
等于( )。
A.
B.
C. 
D. 
7．无论取任何实数值，方程
的实根个数都是( )。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 不确定
8．已知
为实数，若双曲线
的焦距与的取值无关，则的取值范围为( )。
A．
B．
C．
D．
9．函数
对
都有
，若
，
，
则数列
的前n项和
的极限是( )。
A．
B．
C．
D．
10．如图，圆弧型声波
从坐标原点向外传播. 若
是弧与
轴的交点，设
)，圆弧型声波在传播过程中扫过平行四边形
的面积为
(图中阴影部分)，则函数
的图象大致是( )。
 |
A． B． C． D．
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．
11．设地球的半径为
，若甲地位于东经
北纬
，乙地位于东经南纬
，则甲、乙两地的球面距离为
。
12．已知
的离心率是
。
13．数列满足
，
，则数列的第2007项为
。
14．已知点
的坐标满足
，设
，则
（为坐标原点）的最大值为
。
15．某旅馆有三人间、两人间、单人间三种房间各一间可用，有三个成人带两个小孩来投宿，小孩不宜单住一间（必须有成人陪同）。
（1）若三间房都住有人，则不同的安排住宿方法有种 ；
（2）若旅馆将单人间临时改为两人间用，且不要求房里都住有人，则不同的安排住宿方法有种 。
三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
袋中有分别写着“团团”和“圆圆”的两种玩具共个且形状完全相同，从中任取个玩具都是“圆圆”的概率为，
两人不放回从袋中轮流摸取一个玩具，先取，
后取，然后再取，……，直到两人中有一人取到“圆圆”时即停止游戏.每个玩具在每一次被取出的机会是均等的，用
表示游戏终止时取玩具的次数。
(Ⅰ)求袋中“圆圆”的个数；
(Ⅱ)求的数学期望。
17．（本小题满分12分）
在棱长为的斜三棱柱
中，已知
，
，
,连结
。
(Ⅰ)求证：⊥平面
；
(Ⅱ)求二面角
的大小。
18．（本小题满分12分）
函数
（
是非零常数）的图象按向量
，
平移后得到函数
的图象，而函数在实数集上的值域为
，且在区间
上是单调递减函数。
(Ⅰ)求和
的值；
(Ⅱ)若角
和
的终边不共线，
，求
的值。
19．（本小题满分12分）
某地区的一种特色水果上市时间仅能持续
个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数.① 
； ② 
；③
.（以上三式中
均为常数，且
）。
(Ⅰ)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？
(Ⅱ)若
，求出所选函数
的解析式（注：函数的定义域是
，其中
表示
月日，
表示月日，…，以此类推）；
（Ⅲ）为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该果品在哪几
个月份内价格下跌。
20．（本小题满分13分）
已知函数
满足
，
，
；且使
成立的实数只有一个。
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）若数列
满足
，
，
，
，证明数列
是等比数列，并求出的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：
，。
21．（本小题满分14分）
已知点
，点
在轴上，点
在轴的正半轴上，点
在直线
上，且满足
,
。
（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹
；
（Ⅱ）过定点
作直线交轨迹于两点，
是点关于坐标原点的对称点，求证：
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于轴的直线
被以
为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在求出的方程；若不存在，请说明理由。
雅礼中学2007届高三3月质检试卷
数学 (理工农医类)参考答案
1．A 2．B 3．C 4．B 5．B 6．A 7．B 8．A 9．B 10．D
11．
12． 
13．
14. 5
15．18 60
16．
解：(Ⅰ)设袋中原有玩具“圆圆”n个由题意知：
……………………………2分
所以n(n－1)=6，解得n=3(n=－2舍去). ……………………………………………4分
(Ⅱ)由题意可知X的可能取值为1，2，3，4，5……………………………………5分
………………………10分
………………………………………12分
17．
解：（Ⅰ）
证明：∵
是菱形,
∴ 
⊥
又∵ ⊥
,且
∴⊥平面
, ……………………3分
而AO
平面
∴⊥
∵
,
∴
∴⊥,且
∴⊥平面.………………………6分
(Ⅱ) 取
的中点
，连结
、
∵
是等边三角形 ∴⊥
∵
⊥平面 ∴是在平面
上的射影，
∴由三垂线定理逆定理 可得
∴
是二面角的平面角………………………………………………9分
≌Rt
，则
，∴四边形为正方形。
在直角三角形
中，
，
∴
=
=
∴
=arcsin.（或
，
）
∴二面角的大小是arcsin…………………………………………12分
(Ⅱ)另解：由（Ⅰ）易证≌Rt，则，
∴四边形为正方形。以为原点，所在直线为轴，
FB所在直线为轴， OA所在直线为
轴，建立空间直角坐标 系（如图）,则
A（0，0，
）， B(0, ,0),C(-,0,0)，
=（0，，-），
=（-，0，-）………………………………………………………………7分
设
=（
）为平面
的法向量，则
∴
，取
=（-1，1，1）为平面 的一个法向量。…………………9分
而
=(0, ,0)为平面
的一个法向量。…………………………………10分
设为与的夹角，则
=
=
；
∴二面角的大小为…………………………………………12分
18．
解：（1）
；…………………………………………………………………6分
（2）
.…………………………………………………………………………………12分
19．
解：(Ⅰ)应选f(x)=x(x-q)
+p. ……………………………………………………………1分
因为①f(x)=p·q
是单调函数；
②f(x)=px+qx+1的图象不具有先升再降后升特征；
③f(x)=x(x-q)+p中,f′(x)=3x-4qx+q,
令f′(x)=0，得x=q,x=
,f(x)有两个零点.可以出现两个递增区间和一个递减区间.
……………………………………………………………………………………………4分
(Ⅱ)由f(0)=4,f(2)=6得：
解之得
（其中q=1舍去）.
∴函数f(x)=x(x-3)+4，即f(x)=x
（0≤x＜5）…………………8分
（Ⅲ）由f(x) ＜0，解得1＜x＜3 ,
∴函数f(x)=x在区间（1，3）上单调递减，
∴这种果品在5月，6月份价格下跌. ………………………………………………12分
20．
解：（Ⅰ）由，
，，得
.………1分
由，得
.……………………………………………………………2分
由只有一解，即
，也就是
只有一解，
∴
∴
.…………………………………………………………………………………3分
∴
.故
.……………………………………………………………4分
（Ⅱ）∵
，，∴
，
，
，……………………………5分
猜想，
.……………………………………………………………6分
下面用数学归纳法证明：
10 当n=1时，左边=，右边=
，∴命题成立. ……………………7分
20 假设n=k时，命题成立，即
；
当 n=k+1时，
，
∴当 n=k+1时，命题成立. ……………………………………………………………8分
由10，20可得，当时，有
.
∵
，∴
∴是首项为
，公比为的等比数列，其通项公式为
.……………9分
（Ⅲ）∵
，
∴
…………………………12分
.……………………………13分
21．
解：（Ⅰ）设
且
……………………………2分
……………………………………………3分
………………………………………………………………………4分
∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）.
……………………………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）解法一：（1）当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性，有；
……………………………………………………………………………………………6分
（2）当直线与轴不垂直时，依题意，可设直线的方程为
，
，则A，B两点的坐标满足方程组
消去并整理，得
………………7分
设直线AE和BE的斜率分别为
，则
＝
…………………………9分
，
.
综合（1）、（2）可知.………………………………………………10分
解法二：依题意，设直线的方程为
，，则A，B两点的坐标满足方程组
消去并整理，得
……………………………………………………………7分
设直线AE和BE的斜率分别为，则
＝
…………………………9分
，.…………………………10分
（Ⅲ）假设存在满足条件的直线
，其方程为
，AD的中点为
，与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则
，点的坐标为
.
……………………………………………………………12分 
令
，得
，此时，
∴当
，即
时，
（定值）
∴当时，满足条件的直线存在，其方程为
；当
时，满足条件的直线不存在. ……………………………………………………………………14分