高三4月模拟考试理科数学试卷

张家界市一中2007届高三4月模拟考试理科数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，满分50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上）

1．[　 B　 ]

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　　C．　　　　　　D．

2．下列命题中，正确的个数是[　 B　 ]

①若＋＝0，则＝＝；　 ②在△ABC中，若＋＋＝，则O为△ABC的重心；

③若，是共线向量，则·＝·，反之也成立；

④若，是非零向量，则＋＝的充要条件是存在非零向量，使·＋·＝0．

A．1　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2　　　　　　　　　　　　　　C．3　　　　　　　　　　　　D．4

3．若命题P：x∈A∩B，则﹁P [　 B　 ]

A．x∈A且x∈B　　　　　　　　 B．x∈A或x∈B　　　　　C．x∈A且x∈B　　　D．x∈A∪B

4．已知函数f(x)＝log₂ax－1　(a≠0)满足关系式f(－2＋x)＝f(―2―x)，则a的值为[　 C　 ]

A．1　　　　　　　　　　　　　　　　　 B． 　　　　　　　　　　　　　C．－　　　　　　　　　　 D．－1

5．已知f(x)＝2x＋3,(x∈R)，若f(x)－1＜a的必要条件是x＋1＜b，(a、b＞0)．则a、b之间的关系是[　 C　 ]

A．a≤　　　　　　　　　　　　　　　B．b＜　　　　　　　　　　　 C．b≥　　　　　　　　　 D．a＞

6．已知=[　A　 ]

A．0　　　　　　　　　　　　　　　 B．2　　　　　　　　　　　　C．4　　　　　　　　　　　　D．8

7．如图，在∠AOB的两边上分别为A₁、A₂、A₃、A₄和B₁、B₂、B₃、B₄、B₅共9个点，连结线段A_iB_i（1≤i≤4,1≤j≤5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有[　 A　 ]对“和睦线”　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．60

B．62

　　　 C．72

　　　 D．124

8．函数y＝－sinx＋cosx在x∈[－,]时的值域是[　 C　 ]

A．[0, ]　　　　　　　　　　　　 B．[－,0]　　　　　　　　 C．[0, ]　　　　　　　 D．[0,1]

9．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是[　 C　 ]

A．　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　　D．

10．已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，且F₁F₂=2c，点A在椭圆上，=0，则椭圆的离心率e=[　C　　]

A．　　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D．

第Ⅱ卷（非选择题，共计100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确的答案填在指定位置上）

11．若数列x,a₁,a₂,y成等差数列，x,b₁,b₂,y成等比数列，则的取值范围是 (－∞,0)∪[4,＋∞]　．

12．将函数y＝x²的图象F按向量＝(3,－2)平移到F′，则F′的函数解析式为　y＝x²－6x＋7　．

13．设随机变量ξ服从正态分布N(1,2²)，若P(ξ≤c)＝43P(ξ＞c)，则常数c= 　 5　　(参考数据：φ(2)＝0.9773)　

14．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“＋”如下：当a≥b时，a＋b＝a；当a＜b时，a＋b＝b²；则函数f(x)＝(1＋x)·x―(2＋x)，x∈[―2,2]的最大值等于 6　　 (“·”与“－”分别为乘法与减法)．

15．设若存在，则常数 　__－2　　　 .

三．解答题（本大题共6个小题，共75分）．

16．(本小题满分12分)已知向量＝(cos⁴x,－1)，＝(1,cin⁴x＋sin2x)，x∈R，f(x)＝·．

(1)求函数f(x)的最小正周期；　(2)若x∈[0, ]，求f(x)的最值及相应的x值．

解：f(x)＝·＝cos⁴x―sin⁴x―sin2x＝cos2x－sin2x＝2cos(2x＋)．

(1)函数f(x)的最小正周期T＝π．

(2)．∵x∈[0, ]∴2x＋∈[,]．

∴当2x＋＝即x＝0时，f(x)_mox＝1．

当2x＋＝π即x＝时，f(x)_min＝－2．

17． (本小题满分12分)某校的一个研究性学习小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为．

（1）求他们做了5次这种实验至少有2次成功的概率；

（2）如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，但实验的总次数最多不超过5次，求该小组做实验的次数的概率分布列和期望．

解：（1）设5次实验中，只成功一次为事件A，一次都不成功为事件B，至少2次成功为事件C，则

P(C)=1－P(A+B)=1－P(A)－P(B)------------------2分

=1-=

所以5次实验至少2次成功的概率为.---------------------5分

(2) 的可能取值为2,3,4,5.

又∵；

　 -----------9分

（每对一个得1 分）

∴的分布列为：

	2	3	4	5
P

----------------------------10分

∴Eξ=×2+×3+×4+×5=-------------------------12分

18．(本小题满分12分)平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点．

(1)当·取最小值时，求的坐标；

(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos∠AQB的值．　

解：设＝(x.y)，∵与共线x＝2y． ∴＝(2y,y)，又＝－＝(1―2y,7―y)，

＝－＝(5―2y,1―y)．

∴·＝(1―2y)(5―2y)＋(7―y)(1―y) ＝5y²－20y＋12

＝5(y―2)²―8≥―8．此时y＝2，＝(4,2)．

(2)当＝(4,2)时，＝(－3,5)，＝(1,－1)，

·＝－8．

∴cos∠AQB＝＝＝－．

19． (本小题满分12分)如图，在四棱锥中，侧棱PA⊥底面ABCD， AD∥BC，∠ABC=，，．

（Ⅰ） 求点D到平面PBC的距离；　　（Ⅱ） 求二面角的大小．

解：（Ⅰ）如图，在四棱锥中，

∵BC∥AD，从而点D到平面PBC间的距离等于点A到平面PBC的距离.

∵∠ABC=，∴AB⊥BC， 又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，

∴BC⊥平面　PAB，………………2分

∴平面PAB⊥平面PBC，交线为PB，过A作AE⊥PB，垂足为E，则AE⊥平面PBC，

∴AE的长等于点D到平面PBC的距离．而，∴．………5分

即点D到平面PBC的距离为．………………6分

 （Ⅱ） ∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥底面ABCD，

　引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，则CM⊥平面PAD，

∴MN是CN在平面PAD上的射影，

由三垂线定理可知CN⊥PD，

∴∠CNM是二面角的平面角．…………9分

依题意，，

∴，∴，

 可知，∴，

，∴二面角的大小为…… 12分

解法二：如图, A为原点，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

　 （Ⅰ）依题意，，

∴，

∴. 则，，，

，

∴，，.

设平面PBC的一个法向量为，则

 令，得，

则点D到平面PBC的距离等于．……………6分

　 （Ⅱ） ∵AB⊥PA，AB⊥AD，∴AB⊥底面PDA，∴平面PDA的一个法向量为.

设平面PDC的一个法向量为，

∵，，∴

令，得，∴.

∵二面角是锐二面角，∴二面角的大小为．……12分

20.（本小题满分13分）

如图，是抛物线的焦点，是准线与轴的交点，直线经过点。

（1）　　　 直线与抛物线有唯一公共点，求的方程；

（2）　　　 直线与抛物线交于A，B两点，

（Ⅰ）记的斜率分别为，求的值；

（Ⅱ）若点在线段上，且满足，求点的轨迹方程。

解： 依题意，直线斜率存在，设其斜率为，则的方程为，代入抛物线方程有：……………2分

（1）若，令得，，此时，的方程为。…………………4分

若，方程有唯一解。此时方程为………5分

（2）显然，记，

则，，………7分

（Ⅰ）………………………9分

（Ⅱ）设点的坐标为，∵，∴，

∴　…………………11分　∴，………12分

由得，，又，∴。

综上，点R的轨迹方程为。…………………………13分

21．（本小题满分14分）已知函数

(1) 若在上单调递增，求的取值范围；

(2) 若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.

试判断当时，是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明.　　

解：（Ⅰ）由，得 ……………………2分

欲使函数为上单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立.也即在上恒成立.………………4分

令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求. ………………………………………………6分

（Ⅱ）证明：由 得

　 ………………………………7分

　………………………………………8分

　 而　①　………………………10分

　　又，　∴　② …………11分

∵　 ∴，

∵　∴　③　…………………………………13分

由①、②、③得

即，

从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. …………14分