高三下学期3月月考数学（理）试题

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

重庆南开中学

2007级高三下学期3月月考

数学（理）试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.总共三个大题，22 个小题，总分150分，考试时间为120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合P={1，2，3，4}，Q={xx>2,x∈R}，全集U=R，则集合P∩（C_UQ）=（　　）

　　　 A．{1，2}　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　B．{3，4}　　　　　　　　

　　　 C．{1}　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　D．{—2，—1，0，1，2}

2．已知则cos的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．

3．在等比数列{a_n}中，a₅、a₄、a₆成等差数列，则公比q等于　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．1或2　　　　　　　　 B．－1或－2　　　　　 C．1或－2　　　　　　　 D．－1或2

4．函数的反函数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　D．

5．函数的图象在x=1处的切线与圆=50的位置关系为（　　）

　　　 A．相切　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　B．相交但不过圆心　

　　　 C．过圆心　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　D．相离

6．下列极限中，其值为2的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 B．　　　

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　

　　　 D．

7．已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，点M、N分别是在AB₁、BC₁上，且AM=BN，下列四个结论：①AA₁⊥MN；②A₁C₁//MN；③MN//平面ABCD；④MN、AC为异面直线，其中正确的结论为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　 A．1个　　　　　　　　　　　B．2个　　　　　　　　　　C．3个　　　　　　　　　　D．4个

8．已知正四面体S—ABC中，点E为SA的中点，点F为△ABC的中心，则异面直线EF、AB所成的角为　　　　　　　 　（　　）

　　 A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　C．　　　　D．

9．设定义域为R的函数若关于x的方程有3个不同实数解　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　 A．5　　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　C．13　　　　　　　　　　　D．

10．如图，△PAB所在平面和四

边形ABCD所在的平面垂直，

且AD⊥，BC⊥，AD=4，

BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，

则点P在平面内的轨迹是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．圆的一部分

　　　 B．椭圆的一部分

　　　 C．双曲线的一部分

　　　 D．抛物线的一部分

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

11．已知向量，则实数k=　　　　　　  .

12．若实数x、y满足的最大值是　　　　　　  .

13．在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，直线BD₁与平面ABCD所成角的正切值是　　　　　  .

14．已知椭圆满足，若离心率为e，则的最小值为

　　　　　 .

15．若函数上这减函数，则实数a的取值范围是　　　　　 .

16．已知函数表示坐标原点，点若向量

其中=（1，0）的夹角，则　　　　　 .

三、解答题（共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（13分）已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对分别为a、b、c，若

且

　 （1）求角A；

　 （2）若的面积.

18．（12分）已知数列{a_­n}的前n项和S_n满足

　 （1）求{a_n}的通项公式；

　 （2）令b_n=20－a_n,问数列{b_n}的前多少项的和最大？

19．（13分）在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=CD、E、F、H分别是AB、PB、AD的中点，

　 （1）证明：FH⊥面PCB；

   （2）求点A到平面EFH的距离.

20．（12分）如图，ABCD是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流MD，河流经过路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计），某公司准备投巨资建一个大型矩形游乐园PQCN（如图），问如何施工才能使游乐园面积最大，并求出最大值.

21．（12分）已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点P的坐标为（0，－2），过P的直线l与双曲线C交于不同两点M、N.

　 （1）求双曲线C的方程；

　 （2）设（O为坐标原点），求t的取值范围.

22．（12分）已知函数上每一点处可导的函数，若在 上恒成立.

　 （1）证明函数在上是单调递增函数；

　 （2）用数学归纳法证明：对于任意的

恒成立；

　 （3）已知不等式时恒成立，求证：

参考答案

一、选择题

AACDB　 CBDAA

二、填空题

11．1

12．2

13．

14．

15．

16．1

三、解答题

17．解：（1）

∵

∴

∴

　 （2）由余弦定理得

代入

∴的面积为.

18．解：

　 （1）

当时，

由此得

∵

∴

∴是公差为2的等差数列.

即的通项公式为

　 （2）b_n=2n－1，易见b₁>0，{b_n}是递减数列

令

∴n=10，即{b_n}是前10项和最大；

（另解：求出{b_n}的前n项和T_n=－n²+2n，可见当n=10时T_n最大）

19． （1）证明：设PC的中点为G，因为FG　　AD　　DH

　  所以四边形FGDH为平行四边形FH∥DG

　  由PD⊥底面ABCDPD⊥BC，又BC⊥CDBC⊥面CDPBC⊥DG　①

　  所以PD = CD，DG⊥CP　②，由①②得DG⊥面BCP，即FH⊥面PCB

　 （2）解：连接AC、BD，设AC、BD交于O，AC、EH交于M，连接FM

　  由M是AO的中点得：A到平面EFH的距离等于O到平面EFH的距离。

　  显然：OF∥PD，即OF⊥面ABCD，过O作ON⊥FM交FM于N点。

　　因为：AC⊥EH，OF⊥面ABCDOF⊥EH，所以EH⊥面AFC

　  面AFC∩面EFH = FM，所以ON为所求的边长

在三角形MOF中，易得：OF = 2， MF = ，即ON =

20．解：M为原点，AB为y轴，以垂直于AB的直线x轴建立坐标系，

由题意得点D的坐标为D（4，2），则抛物线的方程为

令P（t²，t），则

所以

求导得：

得函数S（t）的可疑点为

比较可疑点和端点的函数值得：S（t）的最大值为，答略。

21．解：（1）由焦点到渐近线的距离等于得：，a=2，

所以双曲线方程为

　 （2）

设显然直线l的斜率存在，设为k

得：

22．（1）证明：由可知

是单调增函数

（2）证明：①：当n=2时，由（1）知是单调递增

在

 

②设当n=k（k≥2，k∈N）时，

当n=k+1时，

③对于任意的恒成立

（3）令函数f（x）=xlnx，易证f（x）满足题设条件，即：

有恒成立

令

（∵

所以