八校高三联合考试数学（文）试题

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 江西省2007年八校　　　　　　　  高三联合考试

数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）

1．若等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　　 D．±

2．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n的值为　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．640　　　　　　　　　　 B．320　　　　　　　　　　 C．240　　　　　　　　　　 D．160

3．已知{a_n}是正项的等差数列，如果满足则数列{a_n}的前11项的和为　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．8　　　　　　　　　　　　B．44　　　　　　　　　　　 C．56　　　　　　　　　　　D．64

4．函数的值域是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　B．　　　C．　　　D．

5．设a，b∈R，则“a+b=1”是“4ab≤1”的（　　）条件

　　　 A．充分非必要　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．必要非充分

　　　 C．充分条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

6．函数在R上存在极值点，则实数a的取值范围是　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　D．

7．设m、n都是不大于6的自然数，则方程表示双曲线的个数是（　　）

　　　 A．16　　　　　　　　　　　B．15　　　　　　　　　　　 C．12　　　　　　　　　　　D．6

8．已知平面向量两两所成的角相等，则

　 =　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．6或　　　　　　　C．6　　　　　　　　　　　　D．6或

9．双曲线的左焦点为F₁，顶点为A₁，A₂，P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF₁，A₁A₂为直径的两圆一定　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．相交　　　　　　　　　 B．内切　　　　　　　　　 C．外切　　　　　　　　　 D．相离

1,3,5

10．设函数f（x）的定义在R上的偶函数，且在则以下结论正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　 D．

11．正方体的直观图如右图所示，则其展开图是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是，若△ABC最长的边为1，则最短边的长为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

第Ⅱ卷（非选择题 共60分）

1,3,5

二、填空题（每小题4分，共16分把答案填在答题卷中横线上）

13．若x＞1，不等式恒成立，则实数k的取值范围是　　　　  。

14．已知二项式的展开式中含x³的项是第4项，则n的值为　　　　  。

15．在北纬60°圈上有甲乙两地，它们在纬度圈上的弧长为为地球的半径），则甲乙两地的球面距离为　　　　　  。

16．若x，y满足则z=x+2y的最大值为　　　　　

三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，设

　 （1）求证：△ABC为等腰三角形；

　 （2）若的取值范围。

18．（本题满分12分）

已知函数

　 （1）若f（x）在上增函数，求实数a的取值范围；

　 （2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在上的最小值和最大值。

19．（本小题满分12分）

如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1

　 （1）证明PA⊥平面ABCD

　 （2）求以AC为棱，　　 EAC与DAC为面的二面角θ的大小；

　 （3）在棱PC上是否存在一点F，使BE//平面AEC？证明你的结论。

20．（本小题满分12分）

骰子是一个质量均匀的正方体，6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点。现在桌面上有3只骰子分别为木制、骨制、塑料制的。重复下面操作，直到桌子上没有骰子：将桌上的骰子全部掷出，然后去掉那些奇数点的骰子。

　 （1）求完成以上操作的次数是二次的概率；

　 （2）求完成以上操作的次数多于三次的概率。

21．（本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为a₁，且成等差数列。

　 （1）求数列{a_n}的通项公式；

　 （2）若

22．（本小题满分14分）

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，P是椭圆C₁上任意一点，设该双曲线C₂：以椭圆C₁的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C₂在第一象限内的任意一点，且

　 （1）设，求椭圆离心率；

　 （2）若椭圆离心率成立。

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数学（文）试题参考答案

一、选择题（每小题5，共60分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	B	B	B	A	A	D	A	D	B	A	D	A

1,3,5

二、填空题

13．　　　　14． 9　　　　 15．　　　　　  16．⑦

三、解答题

17．（1）因为

，

　　所以即AB=BC，故△ABC为等腰三角形。（6分）

　 （2）因为，

　　

18．解：（I）上是增函数，则有

　　

　　 又（当且仅当x=1时取等号），所以a≤3（6分）

　 （II）由题意知=3x²－2ax+3=0的一个根为x=3，可得a=5，

　　所以=3x²－10x+3=0的根为x=3或x=（舍去），又f(1)=－1，

　　f(3)=－9,f(5)=15，∴f(x)在x∈[1，5]上的最小值是f(3)=－9，最大值是f(5)=15

19．证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，

　　由PA²+AB²=2a²=PB²　知PA⊥AB.

　　同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（3分）

　 （II）解 作EG//PA交AD于G，

　　由PA⊥平面ABCD.

　　知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，

　　则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角.

　　又PE：ED=2：1，

　　

　 （III）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为

　　A（0，0，0），B（a，－a，0），C（a， a，0）.

　　 D（0，a，0），P（0，0，a），.

　　

　　设点F是棱PC上的点，，则

　　、

亦即，F是PC的中点时，、、共面.

　　又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.（12分）

　　解法二　当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，

　　证法一　取PE的中点M，连结FM，则FM//CE.①

　　由，知E是MD的中点.

　　连结BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点.

　　所以BM//OE.　②

　　由①、②知，平面BFM//平面AEC 。

　　又BF平面BFM，所以BF//平面AEC.

　　证法二：

　　

　　所以、、共面.

　　又BF平面ABC，从而BF//平面AEC.

20．（1）（4分）

　 （2）操作次数为一次的概率P₁=　（6分）

　　操作次数为三次的概率：

　　

　　所以操作三次以上的概率为

（12分）

21．解（1）由题意知

当n=1时，

当

两式相减得

整理得：……………………………………………………4分

∴数列{a_n}是为首项，2为公比的等比数列.

……………………………………5分

（2）

…………………………………………………………6分

①

②

①－②得………………9分

　　　　　  …………………………11分

…………………………………………………………12分

22．（1）设P（x，y），又F₁（－c，0），F₂（c，0）∴，

　　

　 （2）由椭圆离心率得双曲线

　　

　　　①当AB⊥x轴时，x₀=2c,y₀=3c.

　　 ∴tan∠BF₁A=1, ∴∠BF₁A=45°∴∠BAF₁==2∠BF₁A…………（9分）

　　　②当x≠2c时.

　　　

　　　又2∠BF₁A与∠BAF₁同在内

　　　2∠BF₁A=∠BAF₁

　　　总2∠BF₁A=∠BAF₁有成立。……………………………………（14分）.