江苏省姜堰中学数学综合练习(四)2007．4
班级 学号 姓名
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合
，
，则
、
的关系为 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．从8名女生，4名男生中选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知△ABC中，
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知f（x）=
，则f（3）=
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知向量
（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．
与
是两个不同的平面,对下列条件：①存在平面
，使得、都垂直于；②存在
平面，使得、都平行于；③内有不共线的三点到的距离相等；④存在异面直线l、m，使得l//，l//，m//，m//，其中可以判定与平行的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若x，y是正数，则
的最小值是
（ ）
A．3 B．
C．4 D．
8．设k>1,f(x)=k(x-1)(x∈R)，在直角坐标系中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数的图象与y轴交于B点，并且这两个函数图象交于P点，已知四边形OAPB的面积为3，则k的值为 （ ）
A.3
B.
C.
D.
9．设
、
为曲线
： 
的焦点，
是曲线
：
与的一个交点，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D． 
10．已知函数
在定义域
内是增函数，且
，则
的单调情况一定是
（ ）
A．在
上递增 B．在上递减 C．在上递减
D．在上递增
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)
11．若
≥0，则
的最小值是 ．
12．曲线
处的切线与x轴、直线
所围成的三角形的面积为
=
.
13．设地球O的半径为R，P和Q是地球上两点，P在北纬
，东经
，Q在北纬，东经
，则P与Q两地的球面距离为_____________
14．在
的二项展开式中各项系数之和为
，其二项式系数之和为
，若
，则其二项展开式中
项的系数为__________
15．已知函数f(x)对任意实数p、q满足：
,
3,则
=
．
16．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）.
①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形
④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)
已知函数
的定义域为
，值域为
．试求函数
（
）的最小正周期和最值．
18．（本小题满分14分）
袋中装有m个红球和n个白球，且 m≥n≥2，这些红球和白球除了颜色不同外，其余都相同，从袋中同时取出2个球.
(1)若取出的是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍,试证m必为奇数;
(2)在m、n的数组中,若取出的球是同色的概率等于不同色的概率,试求同时满足m+n≤40的所有数组(m,n).
19．（本小题满分14分）
如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=0，A1C1∩B1D1=O1，E是O1A的中点.
|
（2）求点E到平面O1BC的距离.
20．（本小题满分15分）
在平面直角坐标系中，已知向量
的最小值为1，
）
动点P同时满足下列三个条件：
（1）
·
（2）动点P的轨迹C经过点B（0，－1）.
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在方向向量为m=（1，k）（k≠0）的直线l，l与曲线C相交于M、N两点，使
60°？若存在，求出k值，并写出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分15分）
已知数列
各项均不为0，其前
项和为
，且对任意
都有
（
为大于1的常数），记
．
(1) 求
；
(2) 试比较
与
的大小（）；
(3) 求证：
，（）．
参考答案
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | C | A | D | C | C | B | C | B | D | A |
11. 
12. ±1 13．
14.
1 15. 24 16.②③⑤
17．解
当
＞0时，
，
解得
，从而，
，
T=
，最大值为5，最小值为－5；
当m＜0时， 解得
，
从而，
，T=，最大值为
，
最小值为
．
18. (1)证明:设取出2个球是红球的概率是取出的是一红一白的2个球的概率的k倍(k为整数),则有
=k
,
∴
=kmn
m=2kn+1.
∵k∈Z,n∈Z,∴m=2kn+1为奇数.
(2)解:由题意,有
=,
∴+
=mn.
∴(m-n)2=m+n.∵m≥n≥2,
∴m+n≥4.∴4≤m+n≤40<72.
∴m-n的值只可能是2,3,4,5,6,相应m+n的值分别是4,9,16,25,36,
解得
注意到m≥n≥2,故(m,n)数组值为(6,3),(10,6),(15,10),(21,15).
19．证明（I）过O作OF⊥BC于F，连接O1F，
∵OO1⊥面AC，∴BC⊥O1F，
∴∠O1FO是二面角O1－BC－D的平面角，…………3分
∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=
.
在Rt△O1OF在，tan∠O1FO=
∴∠O1FO=60°即二面角O1—BC—D为60° …………6分
解（II）在△O1AC中，OE是△O1AC的中位线，∴OE∥O1C
|
过O作OH⊥O1F于H，则OH是点O到面O1BC的距
离，…………9分
点E到面O1BC的距离等于OH，
∴OH=
∴点E到面O1BC的距离等于…………12分
解法二：（I）∵OO1⊥平面AC，∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又
OA⊥OB，建立如图所示的空间直角坐标系（如图）
∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，
|
，OB=2
则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），
O1（0，0，3）
设平面O1BC的法向量为
=（x，y，z），
则⊥
，⊥
，
∴
，则z=2，x=－，y=3，
∴=（－，3，2），而平面AC的法向量
=（0，0，3）
∴cos<，>=
，
设O1－BC－D的平面角为α， ∴cosα=
∴α=60°.
故二面角O1－BC－D为60°.
（II）设点E到平面O1BC的距离为d，
∵E是O1A的中点，∴
=（－，0，），
则d=
∴点E到面O1BC的距离等于。
20．解
|
∴
由
由（1）、（2）可知点P到直线x=
再由椭圆的第二定义可知，点P的轨迹是椭圆，椭圆C的方程为：
由（3）可知b=1，∴a2=b2+c2=1+2=3.
∴椭圆C的方程为
（2）设直线l的方程为:y=kx+m，设M（
x1+x2=
Δ=36k2m2－12（m2－1）（1+3k2）=12[3k2－m2+1]＞0 ①
线段MN的中点G（x0，y0），
x0=
，
线段MN的垂直平分线的方程为：y－
∵
∴线段MN的垂直平分线过B（0，－1）点，
∴－1－
，∴m=
②
②代入①，得3k2－（
③
∵
°，∴△BMN为等边三角形，
∴点B到直线MN的距离d=
MN=
=
∴
解得k2=
③式.代入②，得m=
直线l的方程为：y=
21．解：(1) ∵， ①
∴
． ②
②－①，得
，即
．在①中令
，可得
．
∴是首项为，公比为的等比数列，
．
(2) 由(1)可得
．
．
∴
，
．
而
，且
，
∴
，
．∴
，（）．
(3) 由(2)知 
，，（）．
∴当
时，
．
∴
，
（当且仅当时取等号）．
另一方面，当，
时，
．
∵
，∴
．
∴
,（当且仅当
时取等号）．
∴
．
（当且仅当时取等号）．
综上所述，
，（）．