2006－2007学年度上学期
高中学生学科素质训练
高三数学第一轮复习单元测试（3）—《三角函数》
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知
则
等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．将函数
的图象按向量
平移，平移后的图象如图所示，则平
移后的图象所对应函数的解析式是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
在区间
上的最小值是
，则
的最小值等于 （ ）
A．
B．
C．2 D．3
4．设
，对于函数
，下列结论正确的是 （ ）
A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
5．已知非零向量
与
满足
且
则
为 （ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
6．下列函数中,图像的一部分如右图所示的是 （ ）
A．y=sin(x+
)
B．y=sin(2x－)
C．y=cos(4x－
)
D．y=cos(2x－)
7．若△
的内角
满足
，则
= （ ）
A．
B．
C．
D．
8．△ABC的三内角
所对边的长分别为
设向量
,
,若
,则角
的大小为 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．函数
的最小正周期是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．设a b c分别是ΔABC的三个内角ABC所对的边,则a2=b(b+c)是A=2B的 （ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
11． 
等式
成立是
成等差数列 的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
12．如果
的三个内角的余弦值分别等于
的三个内角的正弦值，则（ ）
A．
和
都是锐角三角形
B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．已知
，sin(
)=－
则
=___ _．
14．给出下面的3个命题：（1）函数
的最小正周期是
；（2）函数
在区间
上单调递增；（3）
是函数
的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是
．
15． 
的值为
．
16．函数
的图象如图所示，则
的值等于
.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）（2006年四川卷）已知是三角形三内角，向量
，且
．
（1）求角
；
（2）若
，求
．
18．（本小题满分12分）（2006年上海春卷）已知函数
.
（1）若
，求函数
的值；
（2）求函数的值域.
19．（本小题满分12分）（2006年安徽卷）已知
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值．
20．（本小题满分12分）有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.
21．（本小题满分12分）设
，函数的定义域为
，且
，对定义域内任意的
，满足
，求:
（1）
及
的值；
（2）函数
的单调递增区间；
（3）
时，
，求
,并猜测
时，的表达式.
22．（本小题满分14分）（2006年福建卷）已知函数
（1）求函数
的最小正周期和单调增区间；
（2）函数的图象可以由函数
的图象经过怎样的变换得到？
参考答案（3）
1．B．∵
，
， ∴ 
， 
，
∴ 
．
2．C. 将函数的图象按向量
平移，平移后的图象所对应的解析式为
，由图象知，
，所以
，因此选C.
3．B．∵ 的最小值是时 
∴
∴
且
∴
故本题的答案为B.
4．B. 令
，则函数的值域为函数
的值域，又，所以是一个减函减，故选B.
5．A 向量和三角形之间的依赖关系，认识角平分线和高及夹角用两向量数量积包装的意义， 注意 
知,角A的平分线和BC的高重合, 则
，由
知，夹角A为600,则
为等边三角形，选A．
6．D 由图像可知,所求函数的周期为
排除(A)(C)对于(B)其图像不过(
,0)点，所以应选D.
7．A.∵
，∴
. ∴
，
=
.应选A.
8．B. 
，利用余弦定理可得
，即
，故选择答案B.
9．D. 
所以最小正周期为
,故选D.
10．A 由余弦定理得a2=b2+c2－2bccosA,所以a2=b(b+c)+c2－bc－2bccosA中c2－bc－2bccosA=c(c－b－bcosA)=2Rc(sinC－sinB－2sinBcosA)=Rc(sin(A+B)－sinB－2sinBcosA)=Rc(sin(A－B)－sinB)(*),因为A=2B,所以(*)=0,即得a2=b(b+c);而当由余弦定理和a2=b(b+c)得bc=c2－2bccosA,l两边同时除以c后再用正弦定理代换得sinB=sinC－2sinBcosA,又在三角形中C=π－(A+B),所以sinB=sin(A+B)－2sinBcosA,展开整理得sinB=sin(A－B),所以B=A－B或A=π(舍去),即得A=2B,所以应选A．
11．B 若
,则“
，
，
成等差数列”不一定成立,反之必成立,选B．
12．D. 的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由
，得
，那么，
，所以是钝角三角形.故选D.
13．
由于
,所以
,
,故
,
,
=
=.
14．①②．③中
是
的对称中心．
15．
．诱导公式变角，再逆用三角公式切入，
=
16．
．由图象知
，其图象关于点
对称知，
17．（1）∵ ∴
即
, 
，
∵
∴
∴
．
（2）由题知
，整理得
．
∴
∴
，
∴
或
．
而使
，舍去
∴．
∴
．
18．（1）
，
.
（2）
，
， 
， 
，
函数的值域为
.
19．（1）由
得
，即
，又
，所以
为所求.
（2）=
=
=
=
.
20．如下图，扇形AOB的内接矩形是MNPQ，连OP，则OP=R，设∠AOP=θ，则
∠QOP=45°－θ，NP=Rsinθ,在△PQO中，
，
∴PQ=
Rsin(45°－θ).
S矩形MNPQ=QP·NP=R2sinθsin(45°－θ)=
R2·［cos(2θ－45°)－］
≤
R2，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S矩形MNPQ的值最大且最大值为R2.
工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB，以扇形一半径OA为一边，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°，P为边与扇形弧的交点，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA于M，则矩形MNPQ为面积最大的矩形，面积最大值为R2.
21．（1）
，
，
，
，
，
.
（2）
,
的增区间为
.
（3）
，
，
所以
，
因此
是首项为
，公比为
的等比数列，故
，
猜测
.
22．（1）
的最小正周期
由题意得
即 
的单调增区间为
（2）方法一：
先把
图象上所有点向左平移
个单位长度，得到
的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到
的图象.
方法二：
把图象上所有的点按向量
平移，就得到的图象.
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