第二学期学科学习能力诊断高三数学文

上海市徐汇区2006-2007学年第二学期学科学习能力诊断

高三数学（文科）2007.4

1、设集合A＝｛xx－1＜0，x∈R｝，B＝｛xx²＋x－6＜0，x∈R｝，则A∩B＝　　 

， ，， …

2、复数y＝＝　　　

3、函数y＝2cos²x＋1，（x∈R）的最小正周期为　　　

4、已知单位向量(a，(b，它们的夹角为，则3(a－(b的值为　　　

5、过点A(－1，3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为　　　　　 

6、若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最小值是　　　

7、已知c＞1,且x＝，y＝，则x、y之间的大小关系是　　　

8、从1、2、3、4、5中任取三个数，组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是　　　

9、函数f (x)＝log₂（x²－6x＋10），（x≥3）的反函数是　　　　　 

10、右表给出一个“三角形数阵”，已知第一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为a_{i j}（i≥j，且都为自然数），则a₈₄＝________

11、如果x²＋y²≤r²（r＞0）至少覆盖f (x)＝sin的图象的一个

最大值点和一个最小值点，则r的取值范围是________

12、如图，过抛物线y²＝4x的焦点的直线依次交抛物线与圆

（x－1)²＋y²＝1于点A、B、C、D，则·＝______

13、在⊿ABC中，若cosAcosB－sinAsinB＞0，则这个⊿一定是（　 ）

A、锐角⊿　　  B、钝角⊿　　　C、直角⊿　　　　 D、以上都有可能

14、下列命题中，正确的是（　 ）

A、两条异面直线所成的角的取值范围是[0, ]　　B、两条异面直线所成的角的取值范围是（0, ）

C、直线与平面所成的角的取值范围是[0, ]　　　D、直线与平面所成的角的取值范围是（0, ）

15、系数为非零实数的关于x的不等式a₁ x ²+b₁ x +c₁＜0和a₂ x ²+b₂ x +c₂＜0的解集分别是M、N，

则“＝＝”是“M＝N”成立的(　　 )

A、必要不充分条件　　B、充分不必要条件　 C、充要条件　　D、既不充分也非必要条件

16、函数y＝tan(x－)在一个周期内的图象是（　 ）

　 　 　 

　　　(A)　　　　　　　　　(B)　　　　　　　　 (C)　　　　　　 　　(D)

17.若四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，

PA⊥底面ABCD（如图），且PA＝2

⑴求异面直线PD与BC所成角的大小

⑵求四棱锥P-ABCD的体积

18. （7+5)已知数列｛a_n｝前n项的算术平均数的倒数为 ,

⑴求｛a_n｝的通项公式；

⑵求极限：

19. （6+8)已知关于t的方程t²－2t＋a＝0的一个根为1＋i，（a∈R）

⑴求方程的另一个根及实数a的值；

⑵若log _a（x ²＋a）≥m²－3 m＋3对x∈R恒成立，试求实数m的取值范围。

20. (14’) 如图，一客轮从O地出发，沿北偏东30°的OA方向航行，一小时后

发现一乘客发病并立即发出求救信号，在距离O地40km，北偏东60°的小岛

N上有一医生，现出动离O地正东方向80km的B处的一艘快艇赶往N处载上

医生全速追赶客轮。已知快艇平均速度为40km/h，客轮平均速度为km/h，

问：最少经过多少时间，快艇可追上客轮？

21. (10＋6）已知点A（－1，0)，B（1,0)，C（－ ,0)，D（,0)，动点P（x, y)满足·＝0，动点Q（x, y)满足+＝

⑴求动点P的轨迹方程C₀和动点Q的轨迹方程C₁；

⑵是否存在与曲线C₀外切且与曲线C₁内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由；

22. (5＋5＋8）⑴求函数f (x)＝ x－1＋ x－2（x∈R）的最小值；

⑵求函数f (x)＝ x－1＋ x－2＋ x－3（x∈R）的最小值；

⑶以⑴、⑵为基础，请你提出一个一般性的问题，使⑴、⑵成为新问题的特例，并给出相应的解答。

1、（－3,1)；2、－1；3、p ；4、；5、2x＋y－1=0；6、－1；7、x＜y；8、；9、f ^－1 (x)＝3＋（x≥0）；10、；11、[，＋∞）；12、1；13～16、BCCA；17、⑴60°，⑵；18、⑴4n－1，⑵e ；19、⑴1－i，a＝4⑵[1,2]；20、2小时；21、⑴C₀：x²＋y²＝1， C₁：＋＝1，⑵连椭圆四端点得□， 22、⑴ 1，⑵ 2，⑶问题：设函数f (x)＝ x－1＋ x－2＋…＋ x－n（n∈N^*），试求函数f (x)的最小值.

解答：若n为偶数，则当x ∈[，＋1]时，f_min (x)＝；若n为奇数，则当x＝时，f_min (x)＝