衡阳县一中2008届高三第二次月考试题
数学（理科）
考生须知:
1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.
2. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.
3. 考试结束, 只需上交答题卷.
一. 选择题 : （本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题有且只有一个选项是符合题目要求）.
1. 已知集合M ={ m m = i n , n ÎN }, 则下面属于M的元素是（ ）
A
.( 1 – i ) + (1+ i ) B. (1 –
i ) ( 1 + i ) C. 
D. (
1 – i )2
2．若全集
，
，
，则
为
A．
B．
C．
D．
3．条件
，条件
，则
是
的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知函数
的反函数. 若
的图象过点（3，4），则a等于 （ ）
A．
B．
C．
D．2
5．若
是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，且
，则
的解是
（ ）
A．（－3，0）∪（3，+∞） B．（－∞，－3）∪（0，3）
C．（－∞，－3）∪（3，+∞） D．（－3，0）∪（0，3）
6. 如果f '(x)是二次函数, 且 f '(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,－), 那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )
A. (0, ) B. [0, )∪[, π) C. [0, ]∪[, π] D. [,]
7．若
，则常数a,b的值为（ ）
A.
， B. 
， C. 
， D. 
8.在R上定义运算
：
，若不等式
对任意实数
都成立，则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D. 
9．若不等式
对于任意正整数n恒成立， 则实数a的取值范围是
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
的图象如下所示
给出下列四个命题：
（1）方程
有且仅有6个根 （2）方程
有且仅有3个根
（3）方程
有且仅有5个根 （4）方程
有且仅有4个根
其中正确的命题个数是（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题: （本大题有5小题, 每小题5分, 共25分.）
11．已知函数
的图象在点
处的切线方程是
，则
＿＿＿＿．
12在等差数列
中，
为的前
项和，若
，则
__________.
13．已知正数
、
满足
，则
的最小值为__________.
14．设奇函数f(x)在[－1，1]上是增函数，且f(－1)=－1，若函数f(x)
t
－2at+1对所有的x
[－1，1]都成立，则当a[－1，1]时，t的取值范围是________________。
15.关于函数
，（是常数且＞0）。对于下列命题：
①函数
的最小值是 -1；②函数在每一点处都连续；③函数在R上存在反函数；④函数在
处可导；⑤对任意
且
，恒有
。
其中正确命题的序号是 .
.
三. 解答题: （本大题有6小题, 共75分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.）
16．（本小题满分12分）已知函数
在区间
内连续，且
．
（1）求实数
和
的值；
（2）解不等式
．
17. （本小题满分12分）已知二次函数的二次项系数为，且不等式
的解集为
⑴若方程
有两个相等的实数根，求
的解析式；
⑵若函数
无极值，求实数的取值范围
18．（本小题满分12分）已知
（1）若在
上是增函数, 求
的取值范围；
（2）若
求的值, 并求的最小值.
19．(本小题满分13分) 某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售．第一年，商场为吸引厂家，
决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．第二年，商场开始对该
商品征收比率为p％的管理费(即销售100元要征收p元)，于是该商品的定价上升为每件
元，预计年销售量将减少p万件.
(1) 要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p％的范围是多少?
(2) 第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少?
20．(本小题满分13分）已知函数
（1）求证：函数
上是增函数.
（2）若
上恒成立，求实数a的取值范围.
（3）若函数
上的值域是
，求实数a的取值范围.
21．(本小题满分13分)已知函数
和点
，过点
作曲线
的两条切线
、
，切点分别为
、
．
（1）设
，试求函数
的表达式；
（2）是否存在
，使得、与
三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间
内总存在
个实数
，
，使得不等式
成立，求
的最大值．
参考答案
一．选择题： C D A D D B C C C C
二．填空题：
11．3 12. 2 13. 
14. 
15. ①②⑤
三.解答题:
16．解：（1）因为
，所以
，
由，即
，．
又因为
在
处连续，
所以
，即
．…………（6分）
（2）由（1）得：
由得，当
时，解得
．当
时，解得
，
所以的解集为
．…………（12分）
17.解：⑴设
，∵不等式
的解集为
∴
……… ① 
……… ②
又∵
有两等根，
∴
……… ③ 由①②③解得 
…………（5分）
又∵
，∴
，故
.
∴
……………………………………………（7分）
⑵由①②得
，∴
，
…………………………………………（9分）
∵
无极值，∴方程
，解得
………………（12分）
18. 解：（1）
在
上恒成立,
又当
时, 仅当
时,
. 又
令
综上，
…………（6分）
（2）
由已知
解之得
这时，
其定义域为
令
且在
附近，
左负右正，
在处，
取得极小值，
在定义域内连续，且为单峰函数，
=极小=
…………（12分）
19. (本小题13分)
解：(1)依题意，第二年该商品年销售量为(11.8－p)万件，
年销售收入为
(11.8一p)万元，
则商场该年对该商品征收的总管理费为 (11·8一p)p％(万元)
即
(万元)
由≥14
化简得p2－12p+20≤0，即(p－2)(p－10)≤0，解得2≤p≤l0
故当比率为[2％，10％]内时，商场收取的管理费将不少于14万元．…7分
(2) 第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，
厂家的销售收入为g(p)= 
(2≤p≤10)
∵ g(p)=
=700(10+
)为减函数，
∴ g(p)max =g(2)=700(万元)
故当比率为2％时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元 (利用导数同样给分) ………………………13分
20．．解：（1）当
用定义或导数证明单调性均可.
（2）
上恒成立.设
上恒成立.
可证
单调增。故
，
的取值范围为
（3）
的定义域为
当
上单调增 
故
有两个不相等的正根m，n，
当
时，可证
上是减函数.
综上所述，a的取值范围为
21. (本小题满分13分)
（1）设、两点的横坐标分别为
、
，
，
---2分
∴切线的方程为：
，
又切线过点
， 有
，
即
， （1）
同理，由切线也过点，得
．（2）
由（1）、（2），可得
是方程
的两根，
（ * ）
，
把（ * ）式代入,得
,
因此，函数的表达式为
．
---4分
（2）当点、与
共线时，
，
＝
，即
＝
，
化简，得
，
，
． （3）
把（*）式代入（3），解得
．
存在，使得点、与三点共线，且 ． ---8分
（3）解法
：易知在区间
上为增函数，
，
则
．
依题意，不等式
对一切的正整数恒成立，
，
即
对一切的正整数恒成立．
， 
，
． 由于为正整数，
．
又当
时，存在
，
，对所有的满足条件．
因此，的最大值为
．
---13分
解法
：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值．
，长度最小的区间为
，
当
时，与解法相同分析，得
，
解得
．
后面解题步骤与解法相同（略）．