2007年北京市海淀区数学二模文科试题.doc
一、选择题：
1.设全集U={1，3，5，7}，集合A={3，5}，B={1，3，7}，则
等于（ ）
A．{5} B．{3，5} C．{1，5，7} D．{1，3，5，7}
2.已知抛物线
，则它的准线方程为（ ）
A 
B 
C 
D 
3．若
，则下列结论不正确的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
4.设
、
是不同的直线，
、
、
是不同的平面，有以下四个命题：
①
② 
③
④
，
其中为真命题的是（ ）
A ①④ B ②③ C ①③ D ②④
5.函数
（
的反函数的图象过定点
（ ）
A
B 
C 
D 
6.将圆
按向量a
平移后，恰好与直线
相切，则实数
的值为（ ）
A 
B 
C 
D 
7.定义在R上的函数
既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是
，且当
时，
，则
的值为
( )
A 
B 
C 
D 
8.三角形
中，
，
，
，则
的值为（ ）
A 
B 
C 
D 
二、填空题：
9.一个单位有业务人员120人，管理人员16人，后勤服务人员24人．为了了解这些职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则其中需抽取管理人员 人
10.曲线
在点（1，0）处的切线的斜率为
11.已知点
和向量a
，若
a，则点
的坐标为
12.某地球仪上北纬
纬线的周长为
cm，则该地球仪的半径是
cm，表面积为
cm2
13.已知函数
，若
≥1，则
的取值范围是
14.有这样一种数学游戏：在
的表格中，要求每个格子中都填上1、2、3三个数字中的某一个数字，并且每一行和每一列都不能出现重复的数字.若游戏开始时表格的第一行第一列已经填上了数字1（如左图），则此游戏有
种不同的填法；若游戏开始时表格是空白的（如右图），则此游戏共有
种不同的填法
| 1 | ||
三、解答题：
15(12分)已知
，求下列各式的值：
（I）
（II）
16(13分)在某次数学实验中，要求：实验者从装有8个黑球、2个白球的袋中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回.现有甲、乙两名同学，规定：甲摸一次，乙摸两次.求
（I）甲摸出了白球的概率；
（II）乙恰好摸出了一次白球的概率；
（III）甲乙两人中至少有一个人摸出白球的概率.
17(14分)如图，三棱锥
中，
，
，
，
，
，
为
的中点．
（I）求证：平面
平面
；
（II）求点
到平面
的距离
（III）求二面角
的正切值．
18(13分)设函数
（I）当
时，求函数的极大值和极小值;
（II）若函数在区间
上是增函数，求实数
的取值范围.
19.(14分)已知等比数列
，
是其前项的和，且
，
.
（I）求数列的通项公式；
（II）设
，求数列
的前项和
（III）比较（II）中与
(
)的大小，并说明理由．
20(14分)如图，在平面直角坐标系中，已知动点
，
轴，垂足为
，点
与点
关于轴对称， 
（1）求动点的轨迹
的方程
（2）若点
的坐标为
，、为上的两个动点，且满足
，点到直线
的距离为
，求的最大值
文科数学试题答案
一、选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答案 | B | D | D | C | A | B | C | B |
二、填空题：
9. 2
10. 4
11. 
12. 4
， 64
13. 
14. 4
， 12
三、解答题：
15.方法一：
（I）原式
方法二：
（I）
，且
，且由
，得
>0，
所以
，
2分
∴原式
5分
（II）原式
7分
16.（I）设“甲摸出了白球”为事件，则
3分
（II）设“乙恰好摸出了一次白球”为事件，则
8分
（III）设“甲乙两人中至少有一个人摸出白球”为事件
，则
13分
17.方法一：（I）∵，
∴
平面
，故
∵，为的中点
∴
2分
∴
平面
又
平面
，所以平面平面
4分
（II）如图，在平面中作
，垂足是
∵平面平面，∴
平面∴AE长为点A到平面PBC的距离
又∵平面，∴
在直角三角形
中，，
，
6分
∴
，∴
即为所求 9分
（III）
在平面
中作
，垂足是
，连接
∵，，∴
平面
∴
∴
是在平面内的射影，∴
∴
是二面角的平面角，
11分
在直角三角形中，
，，
，可得
∴在直角三角形
中，
即为所求
14分
方法二：（I）同方法一
4分
（II）以为原点，建立如图的空间直角坐标系
由已知可得各点坐标为
，
，
，
，
5分
设平面的法向量为n
，且
，
∴n
，n
∴
，
，令
，可得
，
∴n
，又
，
∴点到平面的距离
9分
（III）∵，，∴平面
∴平面的法向量为
，设二面角的大小为
∴
，故
即为所求
14分
18.（I）当时，
1分
∴
，
2分
令
，得
，
，列表
|
|
| 1 |
| 2 |
|
|
| + | 0 | ─ | 0 | + |
|
| ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
∴的极大值为
，的极小值为
6分
（II）
7分
①若
，则
，此函数在
上单调递增，满足题意 8分
②若
，则令，得
，
，由已知，在区间上是增函数，
即当
时，
≥0恒成立
10分
若
，则只须
≥1，即0
≤1
11分
若
，则
，当
时，
，则在区间上不是增函数
综上所述，实数的取值范围是
13分
19. （I）设数列的公比为
，则
方法一：
，
2分
∴
，
，则
4分
方法二：易知
，则
，
则
2分
（以下同方法一） 4分
（II）由（I）可得，
，
所以数列是一个以
为首项，1为公差的等差数列
5分
∴
（III）∵
11分
∴当
、2时，
，即
12分
当≥3时，
，即
14分
20.（I） 由已知
，
2分
则
，即
4分
（II）设
，
，如图，由可得
5分
①若直线
轴，则
，
此时
，则
，解之得，
或
但是若，则直线过点，不可能有
所以，此时点到直线的距离为4
7分
②若直线斜率存在，设直线的方程为
，则
则
，即
又
，
9分
∴
∴
则
，可得
或
若，则直线的方程为
，此直线过点，这与矛盾，舍
若，则直线的方程为
，即
12分
此时若
，则直线的方程为
，显然与矛盾，故
∴
13分
由①②可得，
14分