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东北师大附中
辽宁省实验中学
数学试卷（理）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合
，那么
等于 （ ）
A．
B．
C．
D． 
2．
= （ ）
A．－
B．i C．1 D．－1
3．在等差数列
中，已知
，那么
等于 （ ）
A．4 B．6 C．12 D．16
4．已知单位向量
的夹角为
，那么∣
∣等于 （ ）
A．
B．3
C．
D．
5．
表示平面，表示直线，则
的一个充分不必要条件是 （ ）
A．
B．
且
C．
D．
6．由5学生组成两个调查小组进行社会实践，其中甲、乙两人必须在同一组的分组个数共有 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知抛物线
，直线l过焦点F且与x轴不重合，则抛物线被l垂直平分的弦共有 （ ）
A．不存在 B．有且只有1条 C．2条 D． 3条
8．长方体的对角线长度是
，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．在
的展开式中，
的系数是 （ ）
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10．设函数
，若
，且
，则mn的取值范围是（ ）
A．
B．
C． 
D．
11．已知
的三个内角A、B、C所对的三边分别为a、b、c，若的面积
，则
等于 （ ）
A．
B． C．
D．1
12．已知实系数方程
的两个实根分别为
，且
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．某校高三年级有1200人，某次考试中成绩为A等第的有120人，B等第的有840人，C等第的有240人.为了了解考试情况,从中抽取一个容量为200的样本,若采用*分层抽样方法,其中成绩一般的抽取人数是 人.
14．等差数列
的前
项和为
，且
__________
15．直线
过双曲线
的右焦点
，方向向量为
，若原点到直线的距离是原点到右准线距离的
倍，则双曲线的离心率为_______.
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为n阶格点函数，已知函数：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
.其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．(本小题满分12分)
已知
，
。
记
，并且
的最小正周期为
。
（1）求的最大值及取得最大值的
的集合。
（2）将函数
的图象按向量
平移后得函数
的图象，求
的最小值
18． (本小题满分12分)
甲、乙两人射击(每次射击是相互独立事件)，规则如下：若某人一次击中，则由他继续射击；若一次不中，就由对方接替射击。已知甲、乙二人每次击中的概率均为
，若两人合计共射击3次，且第一次由甲开始射击.求：
（1）甲恰好击中2次的概率；
（2）乙射击次数
的分布列及期望.
19．(本小题满分12分)
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中，
是边长为
的正三角形，平面
平面
，四边形为菱形，
，P为
中点，Q 为
中点。
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的正切值.
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20．(本小题满分12分)
已知函数
.
(1) 求函数
的最大值；
(2) 当
时，求证
.
21．(本小题满分12分)
过双曲线
的上支上一点
作双曲线的切线交两条渐近线分别于点
.
（1）
求证：
为定值；
（2）
若
，求动点
的轨迹方程.
22．(本小题满分14分)
设数列{an}的各项都是正数,且对任意
都有a13+a23+ a33+…+ an3=Sn2,其中Sn为数列{an}的前n项和.
(1)求证:an2=2Sn-an;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设bn=3n+(-1)n-1λ·
(λ为非零整数, ),试确定λ的值,使得对任意,都有bn+1>bn成立.
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数学试卷（理）参考答案
一、选择题
1．B 2．A 3．A 4．C 5．D 6．D 7．A
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A
二、填空题
13．140； 14．12； 15．
16．②⑥
三、解答题
17． (本小题满分12分)
解：（1）
因为最小正周期为，
所以 
，
易知
, 即
。
（2）
18（理）解：(1)记“甲同学恰好击中2次”为事件A，则
（2）的可能取值是0，1，2
乙射击次数的分布列为：
|
| 0 | 1 | 2 |
| P |
|
|
|
期望
19解：（1）因为面SAD⊥面ABCD，面SAD∩面ABCD＝AD，
SP⊥AD，SP
面SAD 所以SP⊥面ABCD
所以SP⊥BC
又∠DAB＝60o 所以PB⊥BC
且PB∩SP＝P 所以BC⊥平面SPB
20解：由已知，
，其定义域为
.
，令
，得
.
当
时，
；当
时，
，
所以
在（－1,0）单调递增，在（0，＋
）单调递减，
故当且仅当时，
.
（2）
.
， 
由（1）知
，
另解：
令 
令
.成立。
21．
解：设
，则
，
由
求导得
切线方程为
即
设切线与
交于
，与
交于
得
得
=
=
=2
（2）设
，
又
另解：（1）设直线AB：
由
得
（2）
，所以四边形BOAM是平行四边形
①
②
由①②及
21解: (1)由已知,当n=1时,a13=a12,
∵a1>0, ∴ a1=1
当n≥2时, a13+a23+ a33+…+ an3=Sn2, ①
a13+a23+ a33+…+ an-13=Sn-12, ②
由①-②得, an3= Sn2- Sn-12= an(2Sn-1+an)
∵an>0, ∴ an2=2Sn-1+an,即an2=2Sn-an,
当n=1时, a1=1适合上式, ∴ an2=2Sn-an
(2)由(1)知, an2=2Sn-an ③
当n≥2时, an-12=2Sn-1-an-1 ④
由③-④得, an2 -an-12=2(Sn- Sn-1)-an+an-1= an+an-1
∵an>0 ∴an-an-1=1, 因此,数列{ an }是首项为1,公差为1的等差数列, 故得an=n.
(3)∵an=n, ∴
bn=3n+(-1)n-1λ·
. 要使bn+1>bn恒成立,
即,使bn+1-bn=3n+1+(-1)nλ·
-3n-(-1)n-1λ·=2×3n-3λ(-1)n-1·2n>0恒成立,
