高三第二轮复习质量检测数学（理）试题

山东省泰安市2007年高三第二轮复习质量检测

数学（理）试题2007.5

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考科目、试卷类型（A或B）用铅笔涂写在

　 答题卡上.

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡

　 皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.

3．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回.

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么　　　　　　　  球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B) 　　　　　　　　　　　 

如果事件A、B相互独立，那么　　　　　　　　其中R表示球的半径

P(A·B)=P(A)·P(B) 　　　　　　　　　　球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是　　　　

P，那么n次独立重复试验中恰好发生k　　 其中R表示球的半径

次的概率　　

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．在复平面内，复数对应的点位于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．第一象限　　　　　　B．第二象限　　　　　　C．第三象限　　　　　　D．第四象限

2．已知等差数列的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．26　　　　　　　　　　　B．20　　　　　　　　　　　 C．18　　　　　　　　　　　D．28

3．已知，等于　　　　　　　（　　）　　　 A．　　　 B．　　　 C．　　　　　　　　　 D．　

4．函数给出下列三个命题；

　　　 ①在函数上是减函数；

　　　 ②直线的图象的一条对称轴；

　　　 ③函数的图象可以由函数的图象向左平移得到.

其中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．①③　　　　　　　　　 B．①②　　　　　　　　　 C．②③　　　　　　　　　 D．①②③

5．集合，点的最大值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　B．2　　　　　　　　　　　　C．3　　　　　　　　　　　　D．4

6．当a为任意实数时，直线恒过定点M，则以M为圆心并且与圆

　 相外切圆的方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　 D．

7．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量共线的概率为　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　D．

8．正四棱锥P—ABCD的底面边长为2，侧棱长为，且它的五个顶点都在同一球面上，

　 则此球的体积为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

9．若函数是奇函数，且为增函数，则函数　　 的图象大致得　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

2,4,6

10．定义：一个没有重复数字的n位正整数（，各数位上的数字从左到右依次成等差列，称这个数为期望数。则由1，2，3，4，5，6，7，8，9构成四位数中期望的个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．9　　　　　　　　　　　　B．12　　　　　　　　　　　 C．18　　　　　　　　　　　D．20

11．三个数a，b，c成等比数列，若a+b+c=1，则b的取值范围为 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　　 D．

12．定义在R上的偶函数上是减函数；是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　D．

2,4,6

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔答在试卷中（除题目有特殊规定外）.

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在题中的横线上.

13．一离散型随机变量的概率分布为　　　　　 .

	0	1	2	3
P	0.1	a	b	0.1

　　　 且　　　　　  .

14．若抛物线的焦点与双曲线的一

个焦点重合，则实数a的值为 　　　　　　　.

15．在下面程序框图中，若，

则输出的数是　　　　　　 .（用字母a、b、c填空）

16．在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，点M是棱BC的中

　　　 点，则D₁B与AM所成的角的余弦值是　　　　.

三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

　 （Ⅰ）判断△ABC的形状；

　 （Ⅱ）若的值.

18．（本小题满分12分）

已知数列满足.

　 （Ⅰ）求数列的通项公式；

　 （Ⅱ）记若对任意的成立，求t的取值范围.

19．（本小题满分12分）

直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，已知AB=BC=2，∠ABC=90°，异面直线A₁B与AC成60°角，点O、E分别为AC、BB₁的中点.

　 （Ⅰ）求证：OE//平面AB₁C₁；

　 （Ⅱ）求证：A₁E⊥OC₁.

　 （III）求二面角B₁—A₁C—C₁的大小.

20．（本小题满分12分）

某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.已知AB⊥BC，OA//BC，且AB=BC=2AO=4km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积.

21．（本小题满分12分）

如图所示，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若轴上，且，点C在x轴上移动.

　 （Ⅰ）求点B的轨迹E的方程；

　 （Ⅱ）过点的直线l与曲线E交于P、Q两点，设N（0，a）（a<0）， 的夹角为，若恒成立，求a的取值范围；

　 （III）设以点N为圆心，以为半径的圆与曲线E在第一象限的交点为H，若圆在点H处的切线与曲线E在点H处的切线互相垂直，求a的值.

22．（本小题满分14分）

已知函数上单调递增，在

（－1，2）上单调递减，又函数.

　 （Ⅰ）求函数的解析式；

　 （Ⅱ）求证当

　 （Ⅲ）若函数的单调区间.

山东省泰安市2007年高三第二轮复习质量检测

数学（理）试题参考答案2007.5

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.

1．B　2．C　3．C　4．B　5．D　6．B　7．A　8．C　9．D　10．C　11．D　12．D

2,4,6

二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分.

13．1.2　 14．　　15．a　　　16．

三、解答题：本题共6个小题，共74分.

17．（本小题满分12分）

　　　 解：（I）　　　　　　…………1分

　　　

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………3分

　　　 即

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………5分

　　　

　　　 为等腰三角形.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………7分

　 （II）由（I）知

　　　 　　　　　　　　 …………10分

　　　

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………12分

18．（本小题满分12分）

　　　 解：（I）

　　　

　　　 为公比的等比数列

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………3分

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 …………5分

　 （II）

　　　 　　　　　　　　　　　　　　…………7分

　　　

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………9分

　　　

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………11分

　　　 由1°、2°可得，对一切都有的t的取值范围为

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………12分

19．（本小题满分12分）

　　　 解：（I）证明：取C₁C的中点F，连结EF、OF，则

　　　 OF//AC₁，EF//B₁C₁

　　　 ∴OF∥面AB₁C₁，EF∥面AB₁C₁，

　　　 ∵EF∩OF=F，AC₁∩BC₁=C₁

　　　 ∴平面OEF∥平面AB₁C₁…………2分

　　　 又∵OE平面OEF

　　　 ∴OE//平面AB₁C₁…………3分

　　　 （II）证明：取AB的中点G，连结B₁G，

　　　 ∵A₁C₁//AC

　　　 又异面直线A₁B与AC成60角°，

　　　 ∴∠BA₁C₁=60°

　　　 在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BC=2，

　　　 ∴∠ABC=90°

　　　 ∴A₁B=BC₁，A₁C₁=2

　　　 ∴AA₁=2

　　　 ∴四边形ABA₁B₁为正方形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………5分

　　　 又E、G分别为BB₁、AB的中点

　　　 ∴A­₁E⊥B₁G　　 又B­₁C₁⊥平面ABB₁A₁

　　　 ∴B₁C₁⊥A₁E　 ∵OG//BC，BC//B₁C₁

　　　 ∴OG//B₁C₁∴O、G、B₁、C₁四点共面

　　　 ∴A₁E⊥平面GB₁C₁

　　　 ∴A₁E⊥OC₁­　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………8分

　　　 （III）取A₁C₁的中点H，则

　　　 B₁H⊥A₁C₁

　　　 ∴B₁H⊥平面CC₁A₁

　　　 过H作HM⊥A₁C，连结B₁M，则B₁M⊥A₁C，

　　　 ∴∠B₁MH为二面角B₁—A₁C—C₁的平面角　　　　　　　　　　　　　…………10分

在Rt△A₁C₁C和Rt△A₁MH中，A₁H=，

C₁C=2，A₁C=2

∴HM=　　　　　　　　　　　　　　

又B₁H=

　　　 ∴tan∠B₁MH=

　　　 ∴∠B₁MH=60°

　　　 ∴二面角B₁—A₁C—C₁的大小为60°

20．（本小题满分12分）

　　　 解：以O为原点OA所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），依题意可设抛物线的方程为

　　　

　　　 故曲线段OC的方程为）…………3分

　　　 设是曲线段OC上的任一点，则PQ

　　　 =2+x，PN=4－x²…………5分

　　　 ∴工业区面积S=PQ·PN=（2+x）（4－x²）=8－x³－2 x²+4x

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………6分

　　　　　

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………7分

　　　　　 的增函数

　　　　　 减函数；

　　　　　

　　　　　 答：把工业园区规划成长为km，宽为km的矩形时工业园区的面积最大，最大面积是9.5km² …………12分

21．（本小题满分12分）

　　　　　 解：（I）的中点

　　　　　

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………2分

　　　　　

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 …………3分

　　　　　 （II）设直线l的方程为

　　　　　

　　　　　

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………5分

　　　　　

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………7分

　　　　　

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………9分

　 （III）由题意知，NH是曲丝C的切线，设H

　　　　　

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………11分

　　　　　 解得a=1或a=

　　　　　 ∵a<0

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………12分

22．（本小题满分14分）

　　　 解：（I）

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………1分

　　　 又函数上单调增，在（－1，2）上单调减

　　　 的两个根　　　　　　　　　　　　　…………3分

　　　

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………6分

　 （II）

　　　

　　　 从而函数上单调增　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………7分

　　　 又H（4）=0

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………8分

　　　 （III）

　　　

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………10分

　　　 ①

　　　

　　　 ②

　　　

　　　 ③

　　　

　　　 故在（1，2），（2，）上单增；在（－m,1）上单减　　　 …………13分

　　　 所以当上单增；

　　　 上单增；

　　　 上单减.　　　　…………14分