湖南省常德市二中2007届高三最后一次模拟考试
数学试题（文史类)
一． 选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项正确,每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,多涂、不涂或涂错均得0分.
1．定义集合运算：A⊙B=｛
，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛
，0，1｝，B=
｛
｝，则集合A⊙B的所有元素之和为
A．1 B。0
C。
D。
2．已知命题“若
，则
且
”。这个命题与它的否命题应当存在（ ）
A、原命题是真命题，否命题是假命题； B、原命题与否命题都是真命题；
C、原命题是假命题，否命题是真命题； D、原命题与否命题都是假命题。
3． 已知数列
是首项为
，公差为
的等差数列，若数列
是等比数列，则其公比为（ ）
4．下列命题正确的是 （ ）
A．函数
在区间
内单调递增
B．函数
的最小正周期为
C．函数
的图像是关于点
成中心对称的图形
D．函数
的图像是关于直线
成轴对称的图形
5．设O为坐标原点，M（2，－1）,如果点N（
，
）满足
，那么
的最大值为
A． 2
B． 1
C． 
D．
6．若椭圆＋y2＝1(a＞0)的一条准线经过抛物线y2＝－8x的焦点，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
7．如图，三棱锥
中，
若三棱锥的四个顶点在同一球面上，则这个球的表面积为
A. 
B.
C.
D.
8．连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1，1)的夹角
的概率是
A．
B．
C． 
D． 
9.已知不等式
,若对任意
及
该不等式恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
10． 某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买
黄金，售货员先将
的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金
A.大于
B.小于 C.大于等于
D.小于等于
二． 填空题:本大题共5小题,每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中相应的横线上。
11．在
中，
，
，则
。
12．函数
的反函数是
．
13．设
，
则
＝____________
14．若
六个元素排成一列，要求
不排在两端，且
相邻，则不同的排法有_______________.种。
15．已知定义域为
的函数
对任意实数
满足
，且
，给出下列结论：
①
；②为奇函数；③是周期函数；④在
内为单调函数
其中正确的结论是 （填上所有正确结论的序号）
三． 解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16、（本小题满分12分）
在△ABC中，
为三个内角
为三条边，
且
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若
，求
的取值范围．
17. (本小题满分12分)
在军训期间，某校学生进行实弹射击．
（Ⅰ）通过抽签，将编号为1~6的六名同学排到1~6号靶位，试求恰有3名同学所抽靶位号与其编号相同的概率；
（Ⅱ）此次军训实弹射击每人射击三次，总环数不少于28环的同学可获得射击标兵称号．已知某同学击中10环、9环、8环的概率分别为0.1、0.2、0.2，求该同学能获得射击标兵称号的概率．
18．(本小题满分12分)
将如图1的直角梯形ABEF（图中数字表示对应线段的长度）沿直线CD折成直二面角，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示.
（1）求异面直线BD与EF所成角的大小；
（2）求二面角D—BF—E的大小；
（3）求F、A、B、C、D这五个点在同一球面上，求该球的表面积.
19．（本小题满分12分）
某地区的一种特色水果上市时间仅能持续
个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数.① 
； ② 
；③
.（以上三式中
均为常数，且
）。
(1) 为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？
(2) 若
，求出所选函数的解析式（注：函数的定义域是
，其中
表示
月日，
表示月日，…，以此类推）；
（3）为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该果品在哪几
个月份内价格下跌，以及在哪个月份内价格达到最高。
20．（本小题满分13分）
设
=
(a>0)为奇函数，且
min=
，数列{an}与{bn}满足如下关系：a1=2，
，
．
(1) 求f(x)的解析表达式；
(2) 证明：当n∈N+时， 有bn
．
21．（本题满分14分）
已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点
为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程.
（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（－2，0）及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围.
常德市二中2007届高三模拟考试
数学试题参考答案（文史类)
说明：
1．本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2．评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
一、选择题：（本小题满分50分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | B | C | C | A | B | D | A | D | C | A |
二、填空题：（本小题满分25分）
11. 1/2 12. 
13. 128 14．144 15． (2)(3)
三、解答题
16.（本小题满分12分）
解：（1）由
及正弦定理有：
……3分
∴
或
…………4分
若，且
，∴
，
； ……5分
∴
，则
，∴
三角形．
…………6分
（2）∵ ，∴
，
…………8分
∴
，而
，
…………9分
∴
，
…………10分
∴
，
…………11分
∴
．
…………12分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设恰有3名同学所抽靶位号与其号码相同的事件为A，则事件A所包含的基本事件的种数为2C，而六名同学通过抽签排到1~6号靶位的排法种数为A．……3分
由于每位同学通过抽签排到某个靶位是等可能的，所以P(A)＝＝．
答：恰有3名同学所抽靶位号与其号码相同的概率为．……………………………6分
（Ⅱ）设该同学恰好击中28环、29环、30环的事件分别为B，C，D， 他能获得射击标兵称号的事件为E，则事件B，C，D彼此互斥。
∵P(B)＝C×(0.1)2×0.2+ C×0.1×(0.2)2＝0.018，
P(C)＝C×(0.1)2×0.2＝0.006，
P(D)＝ (0.1)3＝0.001，…………………………………………………………………9分
∴P(E)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.018+0.006+0.001＝0.025．
答：该同学能获得射击标兵称号的概率为0.025．……………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：∵平面ABCD⊥平面DCEF，ABCD为正方形，DCEF为直角梯形，
∴以DA所在直线为x轴、DC所在直线为y轴、DF所在直线为z轴建立空间直角坐标系
，则
…………1分
（1）
…3分
∴异面直线AC与EF所成的角为
.
…………4分
（2） 
∴
∴平面BDF的法向量为
，
…………5分
又设平面BEF的法向量
，
则由
取
∴平面BEF的法向量为
…………7分
∴二面角
的大小为
…………8分
（3）易知BF的中点H就是球心，HA＝HB＝HC＝HD＝HF＝
…………11分
∴
…………12分
（其它方法请参照给分）
19．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)应选f(x)=x(x-q)
+p. ……………………………………………………………1分
因为①f(x)=p·q
是单调函数；
②f(x)=px+qx+1的图象不具有先升再降后升特征；
③f(x)=x(x-q)+p中,f′(x)=3x-4qx+q,
令f′(x)=0，得x=q,x=
,f(x)有两个零点.可以出现两个递增区间和一个递减区间.
……………………………………………………………………………………………4分
(Ⅱ)由f(0)=4,f(2)=6得：
解之得
（其中q=1舍去）.
∴函数f(x)=x(x-3)+4，即f(x)=x
（0≤x＜5）…………………8分
（Ⅲ）由
＜0，解得1＜x＜3 ,
∴函数f(x)=x在区间（1，3）上单调递减，
∴这种果品在5月，6月份价格下跌.
由=0得：x=1 3
∵f(1)=8,f(3)=4,f(0)=4,f(5)=24
∴x=5 时，f(x)有最大值
即在9月份时，这种果品价格达到最大值。………………………………………………12分
20．（本小题满分13分）
解：（1）由f(x)是奇函数，得 b=c=0， ………… (3分)
由f(x)min=，得a=2，故f(x)= 
…………
(6分)
(2) =
，
=
=
…………
(8分)
∴
=
=
=…=
，而b1=
∴=
………… (10分)
当n=1时， b1=，命题成立，
…………
(11分)
当n≥2时
∵2ｎ－1＝（1＋1）ｎ－1＝1＋
≥1+
=n
∴＜，即
bn≤．
………… (13分)
21．（本题满分14分）
解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx－y=0
∵该直线与圆
相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为
…………2分
故设双曲线C的方程为
，又∵双曲线C的一个焦点为
∴
，∴双曲线C的方程为
………4分
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使QT=OF1
若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使QT=QF1
根据双曲线的定义TF2=2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是
①
…………6分
由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（
）
则
代入①并整理得点N的轨迹方程为 
………9分
（3）由
令
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程
上有两个不等实根.
因此
又AB中点为
∴直线L的方程为
…………12分
令x=0，得
∵
∴
∴故b的取值范围是
…………14分