山东省枣庄市
2007届高三第三次调研考试
数学试题（理工农医类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B) 其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长
如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k
，
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，
那么n次独立重复试验中恰好发生k次 其中R表示球的半径.
的概率
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.
1．
的共轭复数是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知条件p:1≤x≤4，条件q：x－2>1，则p是
q的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
|
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 （ ）
A．8+
B．4+
C．8+4π
D．
4．某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6，现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．设F是椭圆
的右焦点，椭圆上的点与点F的最大距离为M，最小距离是m，
则椭圆上与点F的距离等
(M+m)的点的坐标是 （ ）
A．（0，±2） B．（0，±1） C．
D．
|
的值是 （ ）
A．
B．
C．24 D．12
7．如图，程序框图所进行的求和运算是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．设双曲线x2－y2=1的两条渐近线与直线x=
围成的三角形区域（包含边界）为D，P
（x,y）为D内的一个动点，则目标函数z=x－2y的最小值为 （ ）
A．－2 B．－ C．0 D．
9．设α、β、γ为平面，a、b为直线，给出下列条件：
①a
α、bβ，a//β，b//α； ②α//γ，β//γ；
③α⊥γ，β⊥γ； ④a⊥α，b⊥β，a//b.
其中能使α//β成立的条件是 （ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
|
| x | 1 |
|
| f(x) | 1 |
|
则不等式f(x)≤2的解集是 （ ）
A．{x0<x≤
} B．{x0≤x≤4}
C．{x－≤x≤} D．{ x－4≤x≤4}
|
12．已知
，且对任意
都有
①f(m,n+1)=f(m,n)+2; ②f(m+1，1)=2f(m,1).则f(2007，2008)的值为 （ ）
A．22006+2007 B．22007+2007 C．22006+4014 D．22007+4014
|
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．若点
的弦AB的中点，则地线AB的方程是
.
14．在代数式
的展开式中，常数项是
.
15．在样本的频率分布直方图中，共有4个长方形，这4个小方形的面积由小到大构成等差数列{an}，已知a2 = 2a1，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为 .
16．对于函数
给出下列四个命题：
①该函数是以π为最小正周期的周期函数；
②当且仅当x = π+ kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1；
③该函数的图象关于
(k∈Z)对称；
④当且仅当
(k∈Z)时，
其中正确合题的序号是 （请将所有正确命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若向量
的夹角为
（I）求角B的大小；
（II）若
，求a + c的最大值.
18．（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点
都在函数
的图象上.
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设
，求数列{bn}的前n和Tn.
|
如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，
AB=BC=AP=2，D为AP的中点，E，F，G分别为PC、
PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使点P在平面
ABCD内的射影为点D，如图2.
（I）求证：AP∥平面EFG；
（II）求二面角E—FG—D有一个三角函数值.
|
20．（本小题满分12分）
某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行，根据以往经验，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为
，且每局比赛输赢互不影响，若甲第n局赢、平、输的得分分别记为an=2、an=1、an=0、n∈N*，
1≤n≤5，令
（I）求S3 = 5的概率；
（II）若随机变量ξ满足Sξ= 7（ξ表示局数），求ξ的分布列和数学期望.
21．（本小题满分12分）
如图，已知直线l与抛物线
相切于点P(2，1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）.
（I）若动点M满足
，求点M的轨迹C；
|
22．（本小题满分14分）
设
（e为自然对数的底数）
（I）求p与q的关系；
（II）若
在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（III）证明：
①
；
②
（n∈N，n≥2）.
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，共60分.
|
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分.
13．
14．－23 15．160 16．③④
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
17．（本小题满分12分）
解：（I）由题意得
，………………………………2分
即
， 
，
， ………………………………………………………… 4分
（舍去），……………………………………………… 5分
………………………………………………………… 6分
（II）由（I）知
而
，……………………………………………7分
………………………………………………………… 8分
，
…………………………………………………………………10分
所以，a + c的最大值为2. ……………………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（I）由题意，
，
，…………………………………… 3分
当
，也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为
………………………………………5分
（II）
①
② ………………7分
②－①得，
………………………………8分
…………………………………………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：由题意，△PCD折起后PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，PD=2.
（I）∵E、F、G分别为PC、PD、BC的中点.
∴EF∥CD，EG∥PB.
又CD∥AB ∴EF∥AB，PB∩AB = B，…………………………………………… 3分
∴平面EFG∥平面PAB.
|
（II）建立空间直角坐标系D—xyz，如图，则
设平面DFG的法向量
，
则
，
令
………………………………………………………………8分
设平面EFG的法向量为
，
则
，
令
， ………………………………………………………………10分
设二面角E—FG—D为θ，则
，
所以二面角E—FG—D的余弦值为
…………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（I）S3 = 5，即前3局甲2胜1平. ………………………………………………1分
由已知甲赢的概率为，平的概率为
，输的概率为，…………………………2分
得S3 = 5的概率为
…………………………………………………5分
（II）
，且最后一局甲赢， ……………………………………… 6分
； ……………………………………………………8分
ξ的分布列为
| ξ | 4 | 5 |
| Pξ |
|
|
…………………………………10分
……………………………………………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（I）由
， 
∴直线l的斜率为
， …………………………………………………………1分
故l的方程为
，
∴点A坐标为（1，0） ……………………………………………………………… 2分
设
则
，
由得
整理，得
………………………………………………………………4分
∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为
，短轴长为2的椭圆 …………………………………………………………………………………… 5分
（II）如图，由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=k(x－2)(k≠0)①
|
，整理，得
，
由△>0得0<k2<. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)
则
②………………………………………………………7分
令
，
由此可得
由②知
.
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（3－2，1）.………………12分
22．（本小题满分14分）
解：（I）由题意
（II）由（I）知：
令h(x)=px2－2x+p.要使g(x)在（0，+∞）为单调函数，只需h(x)在（0，+∞）满足：
h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.………………………………4分
①
，
∴g(x)在（0，+∞）单调递减，
∴p=0适合题意.………………………………………………5分
②当p>0时，h(x)=px2－2x+p图象为开口向上抛物线，
称轴为x=
∈（0，+∞）.
∴h(x)min=p－.
只需p－≥0，即p≥1时h(x)≥0，g′(x) ≥0，
∴g(x)在(0,+ ∞)单调递增，∴p≥1适合题意.…………………………7分
③当p<0时，h(x)=px2－2x+p图象为开口向下的抛物线，
其对称轴为x=
（0，+∞），
只需h(0)≤0，即p≤0时h(0)≤（0,+ ∞)恒成立.
∴g′(x)<0 ，∴g(x)在（0,+ ∞）单调递减，
∴p<0适合题意.
综上①②③可得，p≥1或p≤0.……………………………………9分
（III）证明：①即证：lnx－x+1≤0 (x>0)，
设
.
当x∈（0，1）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数；
当x∈（1，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数；
∴x=1为k(x)的极大值点，
∴k(x)≤k(1)=0.
即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.………………………………11分
②由①知lnx≤x－1,又x>0，
∴结论成立.…………………………………………………………………………14分