高 三 数 学 试 题（理科）
武汉市新洲区一中 卢有勇 2007.04.25.
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.
参考公式：
1.如果事件
、
互斥，那么
.
2.如果事件、相互独立，那么
.
3.如果事件在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率
.
4.球的表面积公式
，其中
表示球的半径.
5.球的体积公式
，其中表示球的半径.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. 集合
, 集合
,则
( )
A. 
B.
C.
D.
2. 已知
，其中
、是实数,
是虚数单位, 则
= （ ）
A．
B．
C．
D．
3. 函数
是上周期为
的奇函数,若
,
, 则（ ）
A．
B．
C．
D．
4. 已知函数
在
处取极值10, 则
( )
A. 
B. 
C.
或 D. 
或
5. 设
为两两不重合的平面，
为两条不重合的直线，给出下列四个命题：
①若
∥
，则
；
②若
∥
∥，则∥
；
③若
④若⊥，则∥．
其中真命题的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6. 以椭圆
的长轴的两个端点为焦点，准线过椭圆焦点的双曲线的渐近线 的斜率为 ( )
A．
B．
C．
D．
7. 把函数
（其中
是锐角）的图象按
平移或按
平移都可以使对应的新函数成为奇函数，则
的值可为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8. 
、
为实数且
，若多项式函数在区间
上的导函数
满足
，则以下式子中一定成立的关系式是 （ ）
A．
B．
C．
D．
9. 已知函数
在点
处连续, 则
( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 3
10. 设F1、F2分别为双曲线
的左、右焦点，为双曲线右支上任一点,若
的最小值为
，则该双曲线离心率
的取值范围是 ( )
A. 
B. 
C. 
D. 
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 |
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填写在答题卡的相应 位置.
11. 设常数
，
展开式中
的系数为
，则 
____
.
12. 已知变量
、
满足
, 则
的取值范围是
.
13. 已知某篮球选手投篮的命中率为
,且各次投篮间是相互独立的,令此选手投篮次的命中率为
(为进球个数与之比),则事件“
”发生的概率为
.
14. 过点
作曲线
的切线,则切线方程为
.
15. 正整数数列按下表排列:
1 2 5 10 17 …
4 3 6 11 18 …
9 8 7 12 19 …
16 15 14 13 20 …
25 24 23 22 21 …
… … … … … …
位于对角线位置的正整数1,3,7,13,21 …构成数列
,则
,
通项公式
.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本大题满分12分）函数
,
且当
时取函数最小值
.
(I)求和的值;
(II) 若
为锐角,且
,求的值.
17.（本大题满分12分）如图正四棱柱
中,底面边长
,侧棱
,
为线段
上一点,且
.
(I)求线段
的长;
(II)求二面角
的大小.
18.（本大题满分12分）某次有奖竞猜活动中有、两组相互独立的问题,答对问题可赢得奖金3千元,答对可赢得奖金6千元,规定答题顺序可任选,但只有在一个问题答对后才能解答下一个问题,否则中止答题,已知甲同学答对问题、的概率分别为
和
.
(I)若按先后的顺序答题,求甲同学获得奖金数
的分布列和数学期望
;
(II)该甲同学获奖金的期望值的大小与答题顺序有关吗?试证明你的结论.
19.（本大题满分12分）在以
、
为焦点的双曲线
上的一点,已知
,且
.
(I) 求双曲线的离心率;
(II)过点作直线分别交双曲线的两渐进线于
、
两点,若
,
,求双曲线的方程.
20.（本大题满分13分）已知
(
为常数),
(I)当
时,求的单调区间;
(II)设
，是否存在实数使得
在区间
上为单调函数,如果存在,求出的取值范围;若不存在,试说明理由.
21.（本大题满分14分） 集合
是满足下列两个条件的无穷数列的集合:
① 
, ② 
是与无关的常数.
(I) 若是等差数列,
是其前项和,且
,求证:
;
(II) 设数列
的通项公式为
,且
,求
的取值范围;
(III) 设数列
的各项均为正整数,且
,求证:
.
参考答案
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | B | C | C | A | B | A | B | B | A | B |
1.B. 集合是直线
上的点对应的向量，
是直线
上的点对应的向量，它们的交点对应的向量为.
2.C. 
，则
.
3.C.
故
或
.
4.A. 
且
，得
(舍)；
.
5.B.①②正确.
6.A.
,渐近线为
.
7.B.按移得
为奇函数，则
；
按移得
为奇函数，则
，则
，即
，又为锐角，则
.
8.B.可知在上为减函数，而
，故.
9.A.
， 
，由
在点处连续得
得
.
10.B.设
,则
,则
,
,当且仅当
时取等号,
.
11. 1. 展开式中第
项为
，
,
,
.
12.
. 由不等式组可得
，
，则
.
13.
. 由事件“”得投篮4次恰好投中2次,
.
14.
. 设切点为
,则
,
切线方程为
,又过点,
,
,则
或
,即可得切线方程.
15. 43 ; 
. 由题意知
,由迭代易得通项公式.
16. 解（I）
,
,
其中
，
时取最小值,
当
时，
, 即
,
，
又
，
.
（II）
, 
，
，又
，
，
， 即
.
17. 法一（I）
为正四棱柱, 
面
, 又
面
,
，
, 
， 
.
（II）由图知二面角
为二面角
的余角,
设
交于点
，则
,
又
面
，
，
为二面角的平面角，
又
，
, 
,
的余角为
,
二面角为
.
法二（I）如图建立空间直角坐标系，则
，
设
，
面
，
又
，
，则
即
.
（II）面
的法向量为
，
面
的法向量为
,
,
二面角为
.
18. 解：（I）按先
后
的顺序答题获得的奖金数的取值为0，3，9千元，
,
的分布列为:
|
| 0 | 3 | 9 |
|
|
|
|
|
.
（II）按先后的顺序答题获得的奖金数
的取值为0，6，9千元，
,
,
，故该同学获奖金的期望值与答题顺序无关.
19. 解：（I）
，又
,
, 又
，
，则
,
.
（II）
，
，
,
故可设双曲线的方程为
，双曲线的渐近线为
，
，设
，则
, 则
,
依对称性不妨设点
,
由
得
①
又
，
,
, 
,
则
代入①中
得
，双曲线为：
.
20. （I）
,其定义域为
,
，
当
时，有
; 
，有
,
的增区间为
，减区间为
.
（II）
,
,
若存在实数
使得在上为单调函数,
则
或
对于
恒成立,
即
或
对于恒成立,
则
或
对于恒成立,
即
或
对于恒成立,
记
,
则
,
当
时，
; 
时，
,
在
上为减函数，在
上为增函数，
又
, 
,
故
或
,
即存在
或
使
在
上为单调函数.
21. 解（I）设公差为
，则
, 
,
，
由
, 则
，满足条件①,
又
,
当
或
时，
取最大值
，即
，满足条件②,
.
（II）
,
当
时，
，
在，
上单调递减,
当
时，
，即
，
.
（III）假设存在正整数
，使
成立，
各项均为正整数，
，即
,
，
,
由
及
得，
,
故
, 
，
,
……
依此类推有：
,
设
，当
时有
,
显然与数列
的各项均为正整数矛盾.
所以假设不成立，故对于任意
，有
成立.